摘 要：为了对使用Tong搜索检测器的全球定位系统(GPS)接收机的信号捕获性能进行理论评估，以及在设计中确定该检测器的参数值，推导了该检测器的总虚警概率、总检测概率以及平均驻留时间的计算公式，修正了在此之前研究领域普遍使用的谈检测器捕获性能分析公式中的错误，并通过数值验证讨论了该检测器各参数的作用。仿真结果表明：增加Tong搜索检测器内置的计数器初值可以改善捕获性能。在总虚警概率高于0．1％的情况下，降低计数器最大值，同时增加计数器初值可使同等检测概率条件下。平均滞留时间变短。
关键词：扩频通信；全球定位系统；捕获；序贯检测器
全球定位系统(global positioning system，GPS)采用的是直接序列扩频(direct sequencespread-spectrum，DSSS)技术，因为DSSS不仅抗干扰能力强，发射功率谱密度低，能实现码分多址的功能，而且可以作为测距码，使系统获得很高的测距精度和准确度。同其它的扩频接收机一样，扩频信号的捕获与跟踪是GPS接收机的一个关键技术。其中，捕获是一个在时间与频率二维平面上的搜索过程。近年来，已有大量针对DSSS信号捕获的序贯检测技术研究成果，出现了很多高性能的序贯检测器；但在GPS领域，因为相对于通信的扩频系统而言，GPS接收机的主要目标是迅速而精确地估计用户的位置和速度，而不是通信信号频繁的发射与接收，所以，序贯捕获更多是采用计算量不大且易于实现的检测器。
Tong搜索检测器是一种可变滞留时间的搜索检测器，其计算量适中，结构简单，因此在GPS接收机设计中被广泛使用。文给出了它的平均滞留时间、总捕获概率和总虚警概率的计算公式。这些公式被广泛引用；但是，在对GPS信号捕获的研究过程中发现，文给出的性能分析公式存在一些错误，当检测器参数取某些值时计算结果可能与真实值相差很大。
本文重新对Tong搜索检测器的性能进行理论分析，通过数学推导，给出了正确的总虚警概率、总检测概率、平均滞留时间的计算公式，并通过数值仿真讨论了搜索检测器各个参数的作用。
1 时域串行捕获过程
为了捕获到GPS卫星信号，接收机必须复现卫星的伪随机码和载波，只有当复现的伪码在相位上与接收到的伪码相差不大于半个码片，同时，复现的载波与接收到的载波频率偏差在一个可接受的范围内时，才有可能进一步对信号进行精确跟踪，恢复精确的载波相位和伪码。
GPS接收机的捕获模块将输入的数字中频采样信号与本地复现的载波和伪随机码相乘，之后送入相干累加器进行一个或多个伪码周期的相干累加，将输出的信号取能量或者包络作为检测统计量。该检测统计量是伪码相位偏差值和载波频率偏差值的函数。当这2个偏差值同时趋近于零时，检测统计量趋近最大值,而只要这2个偏差值之一稍稍变大，检测统计量迅速减小，趋近于零;因此，可以采用门限判决法进行信号捕获。当统计量超过门限，则认为当前信号已经对准，否则认为当前信号没有对准，需要调整本地生成的载波频率与伪码相位，继续进行下一次的检测。而这个调整过程可以看作一个在时间与频率二维平面上的搜索过程。一个码相位搜索增量与一个Doppler频移搜索增量合并起来成为一个搜索方格。在每个搜索方格内，对输入的同相I和
正交Q这2路信号进行相干累加，并利用输出结果的总能量I2+Q2作为检测统计量与门限相比较，以确定当前搜索方格是否包含有信号。
若当前搜索方格中不存在信号，检测统计量满足2个自由度的中心X2分布。其概率密度函数的表达式为
若当前搜索方格中存在信号，检测统计量满足2个自由度的非中心X2分布。其概率密度函数的表达式为
检测采用Neyman-Pearson准则，当设定所希望的单次虚警概率为
是广义Marcum Q函数。
计算表明，在相干累加周期T=1 ms，接收到信号的载噪比为39．54 dB·Hz的情况下，如果希望Pfa=10-3,则单次检测的检测概率仅为0．743。在实际应用中这样低的检测性能是无法接受的，因此，在GPS接收机的设计中多采用多驻留搜索检测器以提高系统的捕获性能。
2 Tong搜索检测器及其数学模型
由于单次判决的检测概率与虚警概率均不能达到实际应用要求，因此，Tong搜索检测器使用了一种多次驻留的方法以提高检测性能。其用一个上行／下行计数器K来判断信号是否存在。如图1所示，该计数器有2个关键的初始化参数：最大值A和初始值B。对每一个搜索方格，计数器值都被初始化为K=B。对于每一次判决，如果检测统计量超过门限，那么上行／下行计数器增加1。反之，如果检测统计量没有超过门限，则上行／下行计数器减少1。如果计数器的值达到了最大值A，便判定信号存在，并且搜索过程结束，接收机进入信号牵引及跟踪环节。如果计数器的值到达了0，则判定信号不在当前方格，搜索过程继续处理下一个方格。
对于实际存在信号的搜索方格，上行／下行计数器增加1的概率p为单次检测概率Pd，计数器减少1的概率是l-Pd；而对于实际只含有噪声的搜索方格，上行／下行计数器增加1的概率p为单次虚警概率Pfa,计数器减少1的概率是1-Pfa。
3 Tong搜索检测器捕获性能分析
3．1 总虚警概率
对于只含有噪声的搜索方格，假设计数器从某一值i计数最终到达0的概率为ui。若当前计数器值为i，在下一次判决来到之后，计数器的值以概率Pfa转移到i+l，以概率l-Pfa转移到i-1。根据全概率公式，可以得到如下的差分方程：
在实际应用中，显然有Pfa<<1-Pfa，因此，这里可以只讨论Pfa≠1一Pfa的特殊情形。在这种情况下，很容易得到差分方程(5)的解
将Tong搜索检测器的总虚警概率表示为PFA，即在噪声方格中计数器从初始值B开始计数最终到达A的概率。很显然，有PFA=1-uB，即
3．2 总检测概率
总检测概率PD为在信号存在的搜索方格中计数器从B开始计数最终到达A的概率。其显式表达式的推导与上一节类似，仅需将推导过程中的Pfa替换成单次检测概率Pd，就可以得到总检测概率的表达式
3．3 平均滞留次数
因为Tong搜索检测器工作的大部分时间都消耗在搜索只包含噪声的方格中，因此，在信号存在的方格的滞留时间对总花费时间的影响是很小的。下面仅考虑放弃只包含噪声的搜索方格所需的平均滞留次数。
令Ni表示计数器从某一值i开始计数最终计到0所用计数次数的期望值。若当前计数器值为i，在下一次判决来到之后，计数器的值以概率Pfa转移到i+1，以概率1-Pfa转移到i-1。在计数器加1的条件下，Ni的条件期望变为
，在计数器减1的条件下，Ni的条件期望变为N-i=Ni-1+1。根据全概率公式，滞留次数的期望值Ni满足如下差分方程：
出于实用，仍旧只讨论
的特殊情形。此时，该差分方程的一个通解为
令上式中i=B，并将式(8)代入式(12)中，可以得到Tong搜索检测器对于放弃只包含噪声的搜索方格所需的平均滞留次数的表达式
4 数值结果
对于采用Neyman-Pearson准则的检测过程，将总的虚警概率PFA设为1×10-3，代入式(4)，便可得到Tong搜索检测器的总检测概率PD作为输入信噪比函数的曲线，如图2所示。实验中，分别令参数A=8，B=1；和A=8，B=2；以及A=12，B=1。表1给出了这3种情况在不同信噪比下的检测性能具体值。
从表1可以看出，增加A值，搜索检测器的灵敏度随之提高，且由式(13)可以看到，噪声方格中的平均滞留时间也会相应增加。而增加B值，检测器在信噪比较高的情况下捕获性能提高要比增加A值更为明显。对比表1中A=8，B=2以及A=12，B=1这2组数据可以看出，总虚警概率PFA设为1×10-3时，搜索检测器取这两组参数，平均滞留时间很接近，但当检测器输入信噪比高于4 dB时，A=8，B=2时的检测概率要明显高于A=12，B=1时的检测概率。
通过仿真还可以发现，当允许更高的总虚警概率，例如PFA=5×10-3的时候，增加B值所造成的平均滞留时间的增加会小于增加A值造成的平均滞留时间的增加。此时可以通过降低A值增加B值来提高检测性能。
5 结 论
通过推导给出了Tong搜索检测器的总检测概率、总虚警概率、以及平均滞留时间的表达式。Tong搜索检测器中参数B的增加在信噪比较高的环境下可以有效提高检测性能，当总虚警概率高于1×10-3时，在获得相同检测概率条件下，增加B值所造成的平均滞留时间的增加会小于增加A值造成的平均滞留时间的增加。此时可以通过降低A值增加B值来提高检测性能。
