基于FPGA的级联结构FFT处理器的优化设计

0 引 言
    数字信号处理主要研究采用数字序列或符号序列表示信号，并用数字计算方法对这些序列进行处理，以便把信号变换成符合某种需要的形式。在现代数字信号处理中，最常用的变换方法就是离散傅里叶变换(DFT)，然而，它的计算量较大。运算时间长，在某种程度上限制了它的使用范围。快速傅里叶变换(FFT)的提出使DFT的实现变得接近实时，DFT的应用领域也得以迅速拓展。它在图像处理、语音分析、雷达、声纳、地震、通信系统、遥感遥测、地质勘探、航空航天、生物医学等众多领域都获得极其广泛的应用。随着FPGA技术的高速发展以及EDA技术的成熟，采用FPGA芯片实现FFT已经显示出巨大的潜力。
    目前用FPGA实现的FFT处理器结构大致分为四种：递归结构、级联结构、并行结构和阵列结构。递归结构只利用一个碟形运算单元对数据进行规律的循环计算，使用硬件资源较少，但运算时间较长。级联结构每一级均采用一个独立的碟形运算单元来处理，相对递归结构速度上有所提高，不足之处是增加了延时用的缓冲存储器使用量。并行结构对一级中的蝶形单元并行实现，阵列结构是将每一级的蝶形运算单元全部并行实现，这两种结构有很高的运算速度，但消耗的资源过大，一般不采用。为了提高运算速度，特别是为了适应多批数据处理，一般采用级联结构实现FFT处理器。

1 FFT整体结构设计
    在FFT算法中，目前大多使用基-2和基-4算法实现级联结构的FFT处理器，除此之外，也可采用基-8和基-16算法来实现。随着基数的增大，对于相同点数的离散数列，处理器所分的级数越少，对缓冲存储器的需求也越小，因此考虑采用基-16算法来实现FFT处理器，但基-16算法只能实现离散数列点数是16的p次幂的FFT。从而，引入混合基思想来改进基-16算法。
    设x(n)为N点有限长序列，其DFT为：
   
    式中：n1=0，1，2，…，r1-1；n2=0，1，2，…，r2-1。将频率变量k(k<N)表示为：
    k=k1r1+k0
    式中：k1=0，1，…r2-1；k0=0，1，…r1-1。
    式(1)可变换为：
   
    设r1=16P，r2=N／16P=2，4，8，式(2)先将原非16的p次幂的N点FFT分解为16P点的FFT；再分解为N／16P点的FFT。首先对输入信号进行16P点的FFT运算，然后将结果乘以一个旋转因子最后将计算出的数据进行一次N／16P点FFT运算，得到的结果即为所需要的N点FFT运算结果。这样处理，既能减少分解的级数，又能使计算离散数列点数只需是2的整数次幂即可。以1 024点为例，只需分解成两级基-16运算模块和一级基-4运算模块即可实现，其FFT处理器结构图如图1所示。在此结构图的前端增加／减少基-16运算模块或将最后一级基-4运算模块改为基-2或基-8运算模块，就可以实现其他离散数列的点数只需是2的整数次幂的FFT运算。

2 蝶形运算核的实现
2．1 基-16蝶形运算核
    如果直接将基-16蝶形运算公式转换到硬件中实现基-16运算核，其结构将十分复杂的。因此，采用易实现的频域抽选基-4算法来实现频域抽选基-16蝶形运算核。由基-4蝶行运算单元实现的基-16蝶行运算单元如图2所示。

    采用并行流水结构实现的基-16运算核，一个数据时钟可处理16个数据。而每次蝶形运算在一个数据时钟内只需要计算出一个结果，这将造成资源浪费。因此，采用级联结构实现的基-16蝶形运算核，用两个基-4蝶形运算核分别复用4次来实现每一级中的四个蝶行运算，中间用一个串行出入／输出的寄存器进行连接，其结构框图如图3所示。

2．2 基-4蝶形运算核
    基-4蝶形运算核的结构如图4所示，其中加减模块为两级流水结构，一次可以计算4个数据。蝶形运算的四个串行输入数据经串／并转换器转换为四路并行数据，进入加减运算单元。计算出的4个并行结果进入并／串转换器后，串行输入复数乘法器和旋转因子相乘然后输出结果。因为图1中最后一级的数据只需要进行加减运算不需要再乘以旋转因子，所以图1中的基-4蝶形运算核是没有复数乘法器的，数据从并／串转换器中直接输出给缓冲存储器。
2．3 复数乘法器
    虽然现在的高端产中已经集成了可以完成乘法的DSP资源，但也是有限的。因此高效复数乘法器的设计对该设计来讲仍然非常的重要。复数乘法的标准式如下：
    R+jI=(A+jB)×(C+jD)=(AC-BD)+j(AD+BC)
    式中：A，B分别为输人数据的实部和虚部，C和D分别为旋转因子的实部和虚部。按照这种标准表达式，执行一次复数乘法需要进行4次实数乘法，2次实数加法和2次实数减法。将上述公式重新整理为：R=(C-D)·B+C(A-B)，I=(C-D)A-C(A-B)优化后的复数乘法器需要进行3次实数乘法，2次实数加法和3次实数减法，相比传统结构多了一个减法器，少了一个乘法器。在FPGA中，加减法模块所占用的相对裸片面积要小于相同位数的乘法器模块。这样的优化还是很有价值的，在FFT吞吐量不变的情况下，可减少25％的乘法器使用量，在乘法器数量一定的情况下可高FFT吞吐量。

3 存储器单元
    传统的级联结构的FFT处理器的缓冲存储器都是采用乒乓结构，基本思想就是用两块相同的RAM交替读出或写入数据。即其中一块RAM在写入数据时，另一块RAM用于读出数据。当用于写入数据的RAM写满时交换读写功能。将乒乓结构中RAM的内部存储单元地址用二进制数a9a8a7a6a5a4a3a2a1a0表示。以写满其中以块RAM为一个周期，用一个二进制计数器m9m8m7m6m5m4m3m2m1m0生成的顺序写入，混序读取的乒乓结构RAM的操作地址如表1所示。

    表1中第一，二，四块存储器的写操作地址和读操作地址是可以互换的，也就是将数据混序写入，顺序读取。因此，根据这个规律采用一块可同时读写的双端口RAM来实现第一，二，四块存储器。其基本思想就是对同一个地址进行读和写。以用一块双端口RAM实现第一块存储器的为例，在第一个周期内双端口RAM按照地址m9msm7m6m5mdm3m2m1m0进行写操作，即数据是按照自然顺序储存的。在第二个周期按照地址m0m1m2m3m4m5m6m7msm9同时进行读写操作，读出的数据按照倒位序排列，写入的数据按照倒位序储存的。 在第三个周期按照地址m9msm7m6m5m4m3m2m1m0同时进行读写操作，读出的数据按照倒位序排列，写入的数据是按照自然顺序储存的。依次类推下去，读出的数据都是按照倒位序排列。同样第二块和第四块存储器的存储地址也具有这样类似的循环规律。因此只有第三块存储器需要用乒乓结构的RAM实现，与传统所有存储器都用乒乓结构RAM实现相比，节省了3／8的存储单元。设计中用Matlab软件直接生成旋转因子，并将其转化为16位有符号定点数写入MIF文件。然后用ROM直接调用MIF文件，将旋转因子预置在ROM中。

4 仿真结果
    选用Altera公司生产的Cyclone Ⅱ的EP2C35F484C7芯片上进行验证，在QuartyusⅡ7．2软件中进行编译和仿真。通过对高基核的优化处理，该设计对逻辑单元消耗量和传统用基-4算法实现相近，仅为4 399，但由于本文采用了高基低基组合的混合基算法，在处理1 024点的离散数列时，处理器所分的级数仅为3级，相对传统的低基数算法，其实现减少了对缓冲存储器块数的需求；并通过对缓冲存储器的优化设计，又比全部用乒乓结构RAM实现的传统方法节省了3／8的存储单元，因此占用的存储资源仅为154 048 b。仿真波形如图5所示，该仿真结果和Matlab计算结果基本一致，存在一定的误差是由于有限字长效应引起的。

5 结 语
    在100 MHz的时钟下工作，完成一次1 024点的FFT从输入初始数据到运算结果完全输出仅需要54．48μs，且连续运算时，处理一组1 024点FFT的时间仅为10．24 μs，达到了高速信号处理的要求。