5G NR 信道编码

前言

在前面的文章《5G NR中的多载波波形》中，我们学习了多种NR波形，并且了解其设计的关键性能指标。我们知道在上行链路中，DFTS-OFDM依然适用，并且上下行也支持基于CP-OFDM的波形设计。

今天，我们将目光转向5G NR信道编码。了解什么是信道编码，前向纠错的基本限制，二进制输入加性高斯白噪声的前向纠错方案以及衰落信道的编码方案。

在5G NR信道编码方案中，我们将重点集中于LPDC码和Polar码的编译码过程。由于LDPC码和Polar码的编译码涉及知识广，从信息编码理论、概率论到线性代数，并不是几篇文章就能讲清楚。后面如果有空余时间，单独开专题进行讲解。

首先，我们来回顾一下数字通信系统模型：

数字信号在传输过程中，由于各种原因，使得传送的数字信号产生误码，从而在接收端出现信号失真的现象。

信道编码可对数据码流进行相应的处理，使得系统具有一定的纠错能力和抗干扰能力，可极大避免码流在传输过程中产生误码，从而提高数据传输效率，降低误码率。

前向纠错(FEC)方案在每个数字通信系统中都扮演着重要的角色，因为它们提供了抗噪声和其他信道不确定性(如不完善的信道状态信息)的鲁棒性。5G NR设想的使用案例范围之广(见《5G进行时|5G无线接入》)使得设计好的FEC方案特别具有挑战性。

实际上，5G NR与传统的增强移动宽带(eMBB)用例(包括向移动用户提供高数据速率)一起，还将支持两种新的用例:大型机器类型通信(mMTC)，旨在保证与大量低成本和低能耗设备的连接，以及超可靠的低延迟通信(URLLC)，处理提供与延迟和可靠性级别的连接，这些级别比eMBB和mMTC严格一个数量级。

在本文中，我们将介绍5G NR的FEC方案，回顾最近分别在5G新无线电（NR）eMBB传输中选择用于数据和控制信道的低密度奇偶校验（LDPC）和Polar码系列，最后还将考虑通过多天线衰落信道进行通信的问题。

需要注意的是，本文只是对《G Physical Layer: Principles, Models and Technology Components》中的第8章做了节选和解读，更多详细的推导和描述，建议去看原版。

01

二进制输入AWGN信道

什么是二进制输入AWGN信道？

二进制AWGN信道是一种噪声信道模型，属于无记忆离散时间加性高斯白噪声信道，模型数学表达式为：

其输入符号 {xk}属于二进制{-1，1}。 我们假设加性噪声样本{wk}是独立的并且均匀分布的零均值，单位方差高斯随机变量。 因此，可以将ρ视为信噪比（SNR）。式中的n表示可用于传输信息比特包的离散时间信道使用次数。

对于给定的延迟（以信道使用数量表示）和可靠性约束，我们可以通过该信道进行通信速率的基本限制。我们首先介绍上述信道的信道编码方案的概念。

下面给出一个编码的重要定义，该段从笔者整理的word文档中直接截图贴上。

其中，编码的码率R是编码方案中一个重要的性能指标。下面给出二进制AWGN信道的最大编码效率和信道容量的计算方法。

香农编码定理的证明是基于随机编码的论据，它没有提供建设性的方法来处理信道容量。确实，香农的论文从出版开始就花了50年的时间供编码界提出实用的编码方案演示接近容量的性能。

在《5G NR多载波波形》一文中，给大家贴出了香农划时代的论文《A Mathematics Theory of Communication》中关于信道容量的推导公式，我们称之为通信界天花板公式。（ps：我们下次遇到这个公式，要立刻想到祖师爷为我们定制的天花板，求突破）

编码效率与最小错误概率函数图，如下图所示。

（A）为错误概率e=10^-4，ρ=0dB，码块n的码率函数图；（B）为R=0.5，n=512，Eb/N0的数据包错误概率函数图

(A)中的虚线曲线是所谓的正态近似到最大码率R*,以及（B）中的归一化近似公式推导，如下：

图中的非渐近边界提供了一种归一化的方法来测试实际编码方案的性能，这比Eb/N0曲线的经典错误概率更有信息。归一化码率定义说明为：

对于不同码块长度的信道编码方案，其归一化编码效率如下图所示。

从图中，我们得出以下结论：

• 在大块长体制（n≥1000）中，以置信度传播(BP)方式解码的现代编码（例如LDPC码和Turbo码）是最具竞争力的解决方案。

• 中度块长度（400≤n≤1000），使用Polar码和串行抵消解码的大列表尺寸并结合外部循环冗余校验（CRC）码可以实现良好的性能。

• 在短块长体制（n≤400）中，一些最有前途的解决方案涉及使用短的算术码或基于咬尾卷积的线性码，使用接近最大似然（ML）解码算法（例如有序统计解码（OSD））或高阶有限域上的LDPC码进行解码。

实际上，LDPC码用于保护NR eMBB数据信道，而Polar码用于保护NR eMBB控制信道。具体应用方法，参考3GPP R15 TS 38.212 标准协议。

下面，我们将讨论基于bi-WAGN信道的前向纠错（FEC）编码方案。

02

bi-AWGN信道的FEC方案

为大块长度设计代码是一个经过充分研究的问题，并且可以找到有效的解决方案。实际上，现代编码（例如，Turbo和LDPC编码）在次优条件下可提供出色的性能但复杂度较低的迭代解码算法，例如置信传播（BP）。对于短块长度，设计问题更加开放。一方面，当块长减小时，BP解码性能变得越来越不令人满意；另一方面，减少了块长使得使用近似最大似然解码算法变得可行，当将其应用于例如经典算术编码时，其产生的性能有时优于采用BP解码的现代编码可以实现的性能。

下面我们重点讨论LDPC码和Polar码，在5G NR信道编解码中，这两种码使用最多。很容易知道，对于5G的高速率和大容量数据而言，码块长度显然较长，码块数目多，上面总结了不同码块量级适用的编码方案。

2.1 LDPC码

LDPC码(Low Density Parity Check Code,低密度奇偶校验码)是一种线性分组码，其特征是一个稀疏的PCM（奇偶校验矩阵），即它所包含的PCM只有几个非零项。最初由Gallager在60年代提出，后来被重新发现，在20世纪90年代进行了推广，LDPC码为大量通信信道提供了接近容量的性能。这些编码目前已在多个标准中部署，包括IEEE802.11n、IEEE802.16e (WiMAX)、IEEE802.11 ad (WiGig)和DVB-S2。

下面我们来了解几个概念：

• 线性分组码(n,k)，其中n为码长，k为信息位，校验位为n-k。

• 线性码：码字组成线性空间。

• 分组码：校验位只与本组信息位有关。

线性分组码可有校验矩阵唯一确定。校验矩阵表示信息位于校验位的对应关系。我们假设码字c=（s,p），校验矩阵H，其中，s是信息位，p是校验位。则有以下关系：Hc^T=0。

生成矩阵G：可用于通过信息位s来生成传输码字c，具体关系为：sG=c，并且有HG^T=0。

对于校验矩阵H，其构成应满足以下三个条件：

• 每一列有j个1(j>=3)；

• 每一行有k个1（k>=j）；

• 矩阵共有n列（即码字长度），并且j,k远小于n，即矩阵是稀疏的。

对于一个构建的（n,k,j）的LDPC码：

j,k固定：规则LDPC码

j,k不固定：非规则LDPC码

LDPC码通常由校验矩阵H或者Tanner图表示。我们假设有一个（6，3）的LDPC矩阵，其校验矩阵H为：

其对应的Tanner图为：

LDPC代码的Tanner图是一个二部图，即，其中节点是两种不同类型的图，且边仅连接不同类型的节点。这两种类型的节点通常被称为可变节点(variable nodes, VNs)，它与码字长度n相等；被称为校验节点(check node, CN)，它与PCM中的行数m相等，即与校验方程相等。

粗略地说，LDPC码的译码是一个迭代过程，通常称为BP，在关于编码位的对数似然比(LLRs)是沿着Tanner图的边缘进行交换的。每一次译码迭代包括两个阶段:第一个阶段，在每个VN时，对来自信道和即将到来的边缘的LLRs进行处理，转换为更新后的LLRs发送到邻近的CNs;在第二个阶段中，从邻近的VNs到达每个CN的LLR被处理，更新后的LLR被发回。重复此过程，直到找到一个码字或超过最大迭代次数为止。

LDPC码被证实可以实际使用，其性能接近香农限C=Blog2(1+S/N)。

LDPC编码采用下三角编码或者准循环（QC）编码。译码采用BP算法。

LDPC码构造原则：

• 避免出现短循环

• H矩阵足够稀疏

• 码长足够长

设计LDPC码的一种方法是使用伪随机算法来构造PCM给定度分布，避免短周期。尽管这种方法产生的LDPC代码具有非常好的性能[30]，但从实现的角度来看是不切实际的，因为PCM中缺少进一步的结构使得编码和解码复杂度对于实际相关的块长度和速率来说都太高了。

一种更实用的方法是设计由较小的原型构造的结构化LDPC码。通过这种构造获得的LDPC码构成了更通用的MET-LDPC码类别的子集。基于原型的LDPC码的PCM可以根据小的基本矩阵来指定。实际的PCS由基本矩阵构成，方法是用Q×Q二进制矩阵替换基本矩阵中的每个条目，其行和列的权重等于基本矩阵中相应的条目。Q是所谓的提升系数。选择行和列权重为1的Q×Q循环置换矩阵作为二进制矩阵特别方便。生成的代码是准循环的，该属性允许简化的编码和解码，而性能损失可忽略不计。

举个例子：H矩阵由Q×Q的小循环方阵P组成。

在5G NR中为数据信道选择的LDPC码是准循环的，并且具有速率兼容的结构，有助于在混合自动重传请求（HARQ）协议中使用它们。

为了覆盖5G NR中需要支持的大量信息有效负载和速率，指定了两种不同的基本矩阵。这些基本矩阵的一般结构如下图所示。

在该图中，每个白方块在基本矩阵中表示零，每个非白方块表示1。灰色的前两列对应于实际上未发送的打孔系统位。已知将它们相加可以改善所得代码的阈值，即其最小SNR工作点。蓝色部分构成基本矩阵的内核，并且定义了高速率代码。内核奇偶校验部分的双对角线结构使编码有效。通过添加额外的奇偶校验位，即通过在基本矩阵中包含适当选择的行和列子集（包含粉红色标记的条目），可以实现较低码率的传输。为了实现最大并行度，内核外部基本矩阵的行被设计为正交或准正交。最大升力因数Qmax为384。选择此数字是为了在并联大的Q带来的处理机会以及由于产生的更高数量的结构而导致的性能损失（阈值）。

针对高速率和长块长度进行了优化的基本矩阵＃1支持标称速率介于1/3和8/9之间的LDPC码。 该矩阵尺寸为46×68，具有22个系统列。 与384的提升因子一起，产生的最大信息有效载荷为k = 8448位（包括CRC）。

基本矩阵＃2已针对较短的块长和较小的速率进行了优化。 它能够以1/5和2/3之间的标称码率进行传输，尺寸为42×52，并且具有10个系统列。这意味着最大信息有效载荷为k = 3840。

值得指出的是，基本矩阵＃2倾向于产生较低复杂度的解码，并且通常应在信息有效载荷k小于3840和码率小于2/3，而在其余参数范围内应使用基本矩阵＃1。 两种例外情况是k≤308的情况，所有速率均应使用基本矩阵＃2，以及R≤1/4，对于所有信息有效负载大小k，应使用基本矩阵＃2。

2.2 Ploar码

由Arıkan引入的极性码是一类线性分组码，可证明以低编解码方式实现了无记忆对称信道（如bi-AWGN）的容量复杂性，以及有助于其硬件实现的递归结构。

这里，我们简单介绍一下Polar码之父——Erdal Arikan教授。

Erdal Arikan，土耳其人，1958年出生，1985年获麻省理工学院博士学位，师从Robert Gallager教授。

1982年，Erdal Arikan开始研究多址信道的时序译码。

2007年，Erdal Arikan发现信道极化现象及极化码。极化码能够大大提高5G编码性能，降低译码复杂度和接收终端功耗，迅速获得了业界认可，被称为“Polar码之父”。

2016年，极化码顺利成为3GPP 5G NR控制信道编码。

2018年7月26日，华为在深圳坂田举行5G极化码与基础研究贡献奖颁奖大会（5G Polar Code and Fundamental Research Awards），此举是为了表彰科学家对基础科学做出的贡献。

2008年，Erdal Arikan发表了题为《Channel Polarization: A Method for Constructing Capacity-Achieving Codes》的论文，提出了一种信道极化方法，该方法可以构造任意二进制输入离散无记忆信道(B-DMC)W对称容量I(W)的码序列。该论文如下图所示，一共5页。

当时这篇论文发表后，华为迅速发现了其蕴藏的极大价值，迅即大量组织人员对其进行分解剖析，并形成了众多专利成果（貌似有100多项）。后来3GPP制定5G NR信道编码方案时，华为主推的Polar码最终成了控制信道编码方案。大概这也是华为奖励Erdal Arikan的重要原因。

华为创始人任正非非常重视基础科研研究，在与Erdal Arikan教授举行座谈时，任正非表示：

我们向基础研究这条道路努力奋勇前进，把这个问题发扬光大，我们继续支持教授所领导的团队的技术发展和前进，继续合理的给予投资，因为我们觉得（这样）我们的道路会更加宽广，未来信息社会将会是无穷无尽的社会，我们现在才刚刚起步。

简单地表示感谢后，Erdal Arikan说，“中国的科学家，以及中国的高校们在过去很多年做出了非常大的进步，在各个学科、各个科学领域和工程方面都取得了长足的进步，这是我亲眼目睹的。一些项目，包括我自己的一些课题在这个领域，中国的大学和中国的企业，像华为都做出了很多的努力。”

此外，Erdal Arikan在现场还向任正非提了一个有意思的小问题，“如何评估中国的现状？特别在工程科学领域最高质量的教育问题，您对现状是否满意？”

任正非回答称，如今有很多人不能安静坐下来研究学问。

“基础领域的突破不是一天、两天的功夫，是数十年的默默无闻，辛苦地耕耘。”任正非表示。

下面，我们再来看信道极化，依然用截图显示（所用编辑器不支持公式编辑，汗）

其中x表示二进制输入和符号"?"表示擦除。换言之，输入符号x被正确接收的概率(1−p)，被擦除的概率(p)。可以证明，极坐标变换诱导的合成通 W^-和W⁺也是BECs，其擦除概率分别为p^-=p(2-p)>=p和p+=p²<=p。

极化变换现在可以再次应用于W^-和W⁺的输入。这导致四个通道W^--，W^-+，W^+- 和W⁺⁺，如图所示。可以递归地应用此过程N次，以从W的2^N个副本中合成2^N个通道。

接收机使用串行抵消解码。就复杂度而言，极坐标变换的递归性质允许人们执行编码和解码，其复杂度可扩展为 nlog2(n)。此外，这些操作是自然可并行化。

03

衰落信道的编码方案

前面我们已经集中讨论了通过bi-AWGN信道传输信息的问题。在最后一节中，我们将改为考虑更实际相关的通讯方案在多天线衰落信道上。目的是说明衰落带来的其他设计挑战。我们的重点将放在短数据包机制和URLLC用例上，我们将首先讨论单输入单输出（SISO）情况，然后转向多输入多输出（MIMO）传输。

3.1 SISO场景

我们假设正交频分复用（OFDM）操作，并假设每个码字跨越多个资源块（RB），这些资源块在相同的时隙中但以不同的频率。 我们假设每个RB包含由u个子载波组成的d个OFDM符号。

我们假设信道的相干时间Tc大于传输持续时间，并令Lmax = B / Bc为传输带宽B与相干信道带宽Bc之间的比率。因此，Lmax对应于信道提供的频率分集分支的最大数量。

如下图所示，我们假设每个RB都适合一个相干间隔，即RB中包含的所有复数符号都经历相同的衰落增益。 我们还假设在不同的频率分支上分配了不同的RB。最后，我们假设每个码字由L<= L_maxRB组成。

这里咱们不去详细讨论数据导频结构，收发机模型和信道估计模型，我们考虑对于给定的固定块长度n，应该编码的最优分集分支数L，以及应该在每个资源块中分配的最优导频符号数。下图描述了信息理论上界关于每bit所需的最小能量Eb / N0要求实现 e=10^-3当传输k = 81bit信息。块长n = Lnc为168，考虑不同数量的多分支L (L越大，nc越小)。

编码性能测试结果如下图，对于瑞利衰落，数据包错误概率与每比特能量之比，k = 81，n = 186，L =7。信息理论界和基于咬尾卷积码和OSD的实际编码方案的性能。

3.2 MIMO场景

利用MIMO传输和接收提供的额外空间分集是实现URLLC目标的可靠性水平的关键。信息理论边界可以扩展到在发射机没有信道状态信息的情况下，在发射机使用空频编码来让可用天线提供空间分集。

在下图中，报告了k = 30情况下不同MIMO配置的性能，与下行控制信息传输相关，n = 288。比较了单输入单输出(SISO)， 1×2和1×4 d的SIMO，以及使用Alamouti编码[4]的2×2 MIMO的性能。

注：上图中，纵轴为数据包错误概率，横轴为信噪比（Eb/N0）

我们观察到，在图中考虑的信噪比范围内，只有1×4的SIMO配置能够实现低于10^-5 的错误概率，在URLLC的一个常见要求。虽然2×2 MIMO Alamouti配置提供了与1×4单输入多输出(SIMO)相同的空间多样性，但它对信道估计误差更敏感。这在图（B）中尤为明显，图（B）中nc值较小在噪声信道估计中。

总结

①我们总结了信道编码的作用和目的：提高抗干扰能力

②了解什么是二进制输入AWGN信道及其编码方案

③初识5G NR信道编码方案：LDPC码和Polar码

④认识了Polar之父——Erdal Arikan教授

⑤初步讨论了编码方案在衰落信道中的性能。