【剖析】傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换

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时域、频域、s域、z域

大学《信号与系统》讲了四种域：时域、频域、s域、z域。

本质上，频域、s域、z域，都是从时域变换到频域。

时域：

连续信号：x(t）

离散信号：x[n]

频域：

连续信号：X(jw)

离散信号：X(e^jw)

转换关系

时域与频域：傅里叶变换

时域与s域：拉普拉斯变化

时域与z域：z变换

频域与s域：jw = s

频域与z域：e^jw = z

为何傅里叶变换？

为什么时域要变化到频域？

当信号从时域变换到频域后。可以观察到很多时域看不到的现象。特别是很多在时域看似不可能的数学操作，在频域反而so easy！

比如，纸上动笔画一个sin(x)函数波形，很简单！

那让你画一个sin(3x) sin(5x)波形呢？无从动笔？

那给你一个sin(3x) sin(5x)波形，让你画一个sin(5x)波形呢？

在频域，sin(3x) sin(5x)就两条竖线！剔除sin(5x)是不是很简单。

从一条曲线中，去除一些特性频率成分，就是信号处理中的滤波。

频谱只代表每一个正弦波的振幅，没有相位信息。相位如何表示？

鉴于正弦波是周期的，我们用下图红色点来标记离频率轴最近的波峰：

为了看清楚，我们将红色点往下平面投影成粉色点，粉色点与频率轴的距离，这个距离占正弦波的周期的百分比，乘以360°就是相位。

为何要拉普拉斯变换？

为何要拉普拉斯变换？

傅里叶变化只能对能量有限的信号进行变换(也就是可以收敛的信号)，无法对能量无限的信号进行变换(无法收敛)，因此，拉普拉斯应运而生，在原先的傅里叶变换公式中乘以一个衰减因子，使得无限能量的信号也能进行时频变换。

换而言之，傅里叶变换不能分析系统的稳定性，而拉普拉斯变换转成s域就能分析系统的稳定性。

很多曲线，都可以用这些不同频率，连续旋转的圆，通过线性叠加得到，而傅里叶定律，就是对这个结论的数学描述，傅里叶定律说：只要一个函数满足如狄利赫里条件，都能分解为复指数函数之和，哪怕是如拉格朗日提到的带有棱角的方波函数。狄利赫里条件为：

傅里叶变换有一个很大局限性，那就是信号必须满足狄利赫里条件才行，特别是那个绝对可积的条件，一下子就拦截掉了一大批函数。比如函数f(t)=t^2就无法进行傅里叶变换。这点难度当然拿不到聪明的数学家们，他们想到了一个绝佳的主意：把不满足绝对的可积的函数乘以一个快速衰减的函数，这样在趋于正无穷时原函数也衰减到零了，从而满足绝对可积。

数学描述是：

先上图，我们下文讲零极点稳定性问题。

零点、极点分析

1、零点

零点：使系统传递函数G(s)为0的s的值，其中s为复数。比如：

s=-1是零点。

2、极点

极点：使系统传递函数G(s)分母为0的s的值，其中s为复数。比如：

s=-2、s=-3是极点。

为何Z变换？

我们知道，傅里叶变换公示如下：

在函数收敛情况下，才可傅里叶变换，不收敛则乘以一个衰减函数形成拉普拉斯变换。

同样的，离散周期信号的傅里叶级数为：

进一步化简：

令：

则DFT的表达式变为：这就是Z变换!!!

精采绝伦吗？继续high

由连续函数*衰减函数的傅里叶变换，即拉普拉斯变换，我们假定了：

由离散函数*衰减函数的傅里叶变换，即Z变换，我们假定了：

也就是说，z域和s域有如下关系：

我们知道在s域上，虚轴上不同的点对应不同的频率，而z域上单位圆与s域虚轴对应，可见，z域单位圆上不同的点，代表了不同的频率。

对于z域的传递函数的零极点，也有和s域零极点类似的结论：

• 规律1：如果在单位圆上有零点，则在零点所对应的频率上幅值响应为零；

  
  

• 规律2：对于不在单位圆上的零点，在单位圆上离零点最近的点对应的频率上幅值响应最小。

  
  

• 规律3：对于在单位圆内部的极点，在单位圆上离极点最近的点对应的频率上幅值响应最大。

  
  

• 规律4：如果极点和零点重合，对系统的频率响应没有影响。

  
  

零、极点影响频率响应

例子1：

对于这个系统，在z=0有一个极点，在z=1时有一个零点。零、极点分布如下：

其中o表示零点，x表示极点。从z=1也就是单位圆上角度为零(也是频率为零)的点开始，此处z=1有一个零点，根据规律1，显然在频率为零时系统响应为零。

顺着单位圆沿逆时针方向旋转，我们离零点越来越远，零点的影响也越来越小，因此幅值响应会逐渐增大。当我们到达z=-1 ,也就是频率为1/2fs时，此时离零点最远，因此响应会达到一个最大值，当频率继续增大时，由于离零点又开始接近了，幅值响应又开始变小。

极点正好位于圆心位置，也就是说所有频率段离极点的距离都一样，因此可以认为都没影响。

用freqz函数将系统的频响画出来，如下图，这个系统本质上是一个高通滤波器。

这个系统转换到时域：

是不是很惊喜，这本质就是一个差分，低频信号被过滤，高频信号通过。

这一个差分，对应连续系统的微分。我们知道微分对应的是传递函数是s，稳态时为s=jw，这显然是一个高通滤波器。

看到这里，休息一下，下文接着聊。