什么是抖动？使用抖动消除量化失真

了解如何通过添加抖动来改善模拟到数字转换系统的性能，从而消除量化误差和失真

有时，电子噪声可能是一件好事。在本文中，我们将探讨一种名为“抖动”（Dithering）的技术，该技术通过在信号中添加适当的噪声成分来改善模数（A/D）转换系统的性能。

什么是抖动？

大多数电子工程师都熟悉限制电子电路中噪声水平的方法。滤波是一种常见的技术，可用于消除噪声成分或至少限制其带宽。在某些应用中，如降噪耳机和低噪声放大器（LNAs）的降噪功能，我们甚至可以测量主要的噪声成分并从系统输出中减去它，以达到所需的性能。

然而，在模数转换系统中，我们需要噪声来改善电路性能。这种信号处理技术被称为抖动，它故意在模数转换器（ADC）的输入端（在采样和量化之前）添加一个具有适当概率密度函数（PDF）和功率谱密度（PSD）的噪声信号，以改善系统的某些性能方面。图1展示了抖动系统的简化框图（该图表示一种称为非减式抖动的类型）。

图 1.显示抖动系统的框图的示例图。图片由ADI公司提供

第一次了解抖动时，人们可能会觉得在某些情况下，一定程度的噪声竟然是有帮助的，这似乎有些违反直觉。抖动技术可以应用于三个不同的目的：

通过打破量化误差与输入信号之间的统计相关性来改善理想量化器的性能
随机化非理想模数转换器（ADC）上的微分非线性（DNL）误差模式，以提高无杂散动态范围（SFDR）性能
通过对缓慢变化的信号进行平均来增加测量分辨率

在本文中，我们将讨论抖动如何通过打破量化误差与输入信号之间的统计相关性来改善理想量化器的性能，但在那之前，我们需要先回顾一下ADC量化噪声的基本知识。

ADC量化误差的高级基础

模数转换器（ADC）通过几个离散电平来表示连续的模拟值范围，这本身就会引入一种称为量化误差的误差。为了全面理解这种误差，已经进行了大量研究。事实上，研究历史可以追溯到1948年W. R. Bennett的论文《Quantized Signals的频谱》。如今，人们已广泛了解，在一定条件下，量化误差可以建模为在±LSB/2（LSB表示转换器的最低有效位）之间均匀分布的加性噪声。

此外，量化噪声被视为白噪声（即在Nyquist带宽dc到fs/2内均匀分布），其总功率等于LSB²/12。这种平坦频谱的特性基于量化误差样本之间不相关的假设。

在本文中，我们将这种量化误差模型称为“量化噪声模型”。虽然稍后我们会讨论该模型并非总是有效，但对于许多实际应用而言，它仍然足够准确。以下示例展示了为何处理数据转换器的电子工程师喜欢这一模型！

10位与12位ADC：多少位才足够？

考虑一个应用场景，其中ADC的参考电压为2V。假设ADC输入信号的噪声为1mV RMS（均方根）。对于10位ADC，其LSB（最低有效位）为2^(2/10) = 1.95mV，因此，噪声的RMS值等于0.51 LSB。

根据量化噪声模型，我们知道量化操作会引入RMS噪声，其值为LSB/√12 = 0.29 LSB。

可以看出，量化噪声与输入信号原有的噪声相当。为了计算系统的总噪声功率，我们需要将这两个噪声源的功率相加：

对上述值开方后，得到总噪声的RMS值为0.59 LSB。如果这一噪声水平在我们的应用中不可接受，我们可以通过增加ADC的分辨率来降低量化噪声。例如，使用12位ADC时，输入噪声的RMS值为2.05 LSB。与输入噪声相比，量化噪声（0.29 LSB）现在几乎可以忽略不计。在此示例中，总噪声的RMS值为2.07 LSB。看来，12位系统为该应用提供了足够的分辨率。

了解了信号中的总噪声后，我们可以在交流（AC）应用中确定信噪比（SNR），或在测量应用中确定最小可检测信号。这里的关键点是，噪声模型使我们能够轻松地考虑量化过程对系统噪声性能的影响。

另外值得一提的是，上述讨论隐含地假设ADC增加的主要噪声是量化噪声。事实并非总是如此。随着ADC分辨率的增加，量化噪声变得越来越小。在某个点上，量化噪声与ADC内部电路产生的热噪声和闪烁噪声等电子噪声相比变得可以忽略不计。这是当今高分辨率ΔΣ（增量-求和）ADC的情况。如果量化噪声可以忽略不计，则应考虑ADC的峰到峰输入参考噪声来分析系统的噪声性能。

量化误差的频率成分

量化噪声模型的一个含义是，误差与输入不相关。为了更好地理解这一点，请考虑图2中的波形。

图2. 示例波形。图片由 Franco Maloberti 提供

图2解析

上图的左曲线描绘了两个周期的10位量化正弦波。右曲线显示了量化误差。在此示例中，采样频率与输入频率的比率为150。通过视觉检查可以确认，量化误差是周期性的（一个周期由橙色矩形指示）。此外，输入信号与量化误差信号之间存在相关性。由此我们知道，周期性信号的频率成分主要集中在信号基频的倍数上。这意味着虽然量化噪声模型期望误差具有平坦的频率谱，但量化误差却包含一些强烈的频率分量。

这是一个普遍问题：如果输入是正弦波，且采样频率是输入频率的倍数，则量化误差与输入信号相关。图3中给出了另一个示例。

图3.显示相关噪声（a）和不相关噪声（b）的示例图。图片由ADI公司提供

频谱分析

左图显示了当输入为2 MHz正弦波且采样频率为80 MSPS时，理想12位ADC的频谱。右图则显示了同一ADC在相同采样频率下对2.111 MHz正弦波的频谱。正如预期，当采样频率与输入频率的比值为整数时，输出会产生输入频率的不同谐波。对于左图，系统的无杂散动态范围（SFDR）仅为77 dBc。通过稍微改变输入频率，谐波分量消失，我们得到一个看似平坦的噪声基底。

请注意，在这两种情况下，量化误差的RMS值是相同的，导致信噪比（SNR）为74 dBc（12位ADC可获得的理论值）。对于这两种情况，RMS误差都与量化噪声模型预测的值（LSB/√12）一致；然而，左图中的误差频率谱并不平坦。

上述谐波分量是量化过程的产物，与ADC电路的性能无关。这突出了ADC测试中的一个重要注意事项：如果输入信号是采样频率的精确子倍数，则对单音正弦波进行快速傅里叶变换（FFT）测试得到的频谱将受到量化过程产物的影响。

综上所述，如果量化误差与输入相关，我们不能假设ADC仅增加输入信号的噪声基底。在这种情况下，量化噪声模型不再有效，量化过程可能会在输出频谱中产生显著的谐波分量。通常，我们更希望误差能量分布在较宽的频带内，而不是集中在某些特定频率上。

量化低幅度信号

量化低幅度信号也可能导致量化误差与输入信号之间产生相关性。数字音频系统是一个低幅度信号可能成为问题的典型应用场景。假设ADC的输入幅度降低到0.75 LSB，如图4所示。

图4. 示例图显示了ADC输入压降的幅度。

量化后的信号特性

如你所见，量化后的信号仅取三个不同的值，并呈现出类似方波的形状。我们知道，方波的频谱包含基频的不同谐波。在上面的例子中，输入是一个1.11 kHz的正弦波，采样频率为400 kHz（故意选择远高于奈奎斯特采样定理所要求的频率）。输出的快速傅里叶变换（FFT）结果如图5所示。

图5. 显示 FFT 幅度与频率关系的图表。

谐波分量的存在

尽管输入频率（1.11 kHz）不是采样频率（400 kHz）的子倍数，但频谱中仍包含显著的谐波分量。在图6提供的频谱放大图中，这些谐波分量更加清晰可见。

图6. 频谱的放大版本。

抖动技术的优势

为了研究抖动技术，我们向上述信号添加具有三角分布的噪声，然后对其进行量化。三角抖动概率密度函数（pdf）的宽度被设定为2 LSB。波形如图7所示。

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图7. 具有三角形分布并量化的噪声相加后的示例波形。

频域中的表现

在时间域中，看起来信息似乎丢失了，但在频域中情况如何呢？新量化信号的频谱（上图中的红色曲线）如图8所示。

图8. 新量化信号的频谱。

抖动技术的优势

抖动技术消除了谐波分量。事实上，谐波分量的能量被分散到了更宽的频带中。因此，当我们应用抖动技术时，预期噪声基底会略有上升。除此之外，添加到输入中的抖动噪声也会导致噪声基底的增加。

上述例子清楚地展示了抖动技术在频谱分析应用中的优势。但值得注意的是，即使不将信号转换到频域，我们也能从抖动技术中受益。例如，在数字音频中，由于抖动而产生的无特征背景噪声的增加，在感知上远比量化器引入的人工谐波更可接受。

抖动噪声的益处

量化噪声模型的一个含义是量化误差与输入不相关。当情况并非如此时，量化操作会引入一种被称为“量化失真”的失真。通过添加抖动噪声，可以消除量化误差与输入之间的相关性，从而消除量化操作产生的谐波分量。这样，抖动技术可以改善理想量化器的性能。如上所述，抖动技术还用于多种其他目的。在本系列的下一篇文章中，我们将进一步深入讨论这个话题。

最后，值得一提的是，在大多数系统中，输入信号已经包含足够的噪声，因此不需要添加额外的抖动噪声来打破量化噪声与输入之间的相关性。此外，ADC的输入参考噪声可能足以产生相同的抖动效果。