传输线中的导体损耗和介质损耗

电磁波在传输线中传播时会受到衰减。在某些情况下，我们可以忽略这种衰减——例如当损耗太小而可以忽略不计时，或者在建立传输线基线特性时简化分析。然而，评估传输线的衰减能力有助于我们选择合适的最大走线长度或适合应用的低损耗材料。

传输线中的损耗机制高频下影响互连的损耗机制包括以下几种：

失配损耗。当信号遇到不连续点时，部分能量会反射回信号源。辐射损耗。顾名思义，这是由于射频辐射导致的能量损失。导体损耗和介质损耗。与上述其他损耗类型不同，它们并不只是反射或引导能量离开传输线，而是直接吸收电磁能并将其转化为热能。

传输线模型中的损耗元件在本系列之前的文章中，我们已经了解了传输线模型（如图1所示）中的损耗元件，即串联电阻（R）和并联电导（G）。

图1. 双导体传输线的等效电路

集肤效应使交流电阻与频率的平方根成正比增加。并联电导则反映了介质损耗，如式1所示：

若假设损耗角δ保持恒定，则上述方程表明，每单位长度的导纳（G）将随频率呈线性增长（ω = 2πf）。

损耗传输线的方程
在之前的文献中，我们推导了无损耗传输线的电压和电流方程。通过类似的方法，我们可以得到损耗传输线的方程。这里我们直接给出最终结果。对于损耗传输线，其复特征阻抗（Z0）和复传播常数（γ）如式（2）和式（3）所示：

传播常数包含两个部分：

衰减常数（α）是 γ 的实部，单位为奈培/米（nepers per meter），表示信号沿传输线传播时的幅度衰减。
相位常数（β）是 γ 的虚部，单位为弧度/米（radians per meter），描述单位长度内的相位变化。

若传输线沿 x 轴方向延伸，前行的电压波可表示为：

其中，A 是一个可通过传输线输入端和输出端的边界条件确定的常数。损耗线与无损耗线之间的主要区别在于指数项 e−αx，它表明信号在沿损耗传输线传播时会发生幅度衰减。

低损耗传输线中的衰减常数α简化
实际应用的传输线应具有极小的损耗，否则将无法有效传输信号。我们可以通过式（1）来评估电导G的值。以典型的FR-4电路板为例，其损耗角正切约为0.02，由此可得：

即使对于损耗较大的材料，电导 G 也仅为单位长度电容导纳的 1/50。因此，我们可以假设：

上述小损耗假设允许我们简化传输线的方程。特征阻抗 Z0 可近似为：

此外，传播常数 γ 可重写为：

最后，利用近似公式

（当 1《 X 时），我们可以推导出：

这一重要结论帮助我们理解了传输线模型中的电阻 R 和电导 G 如何对衰减常数 α 产生贡献。如需进一步了解该主题，我推荐 Clayton R. Paul 所著的《Digital and Analog Electric Systems中的传输线：信号完整性与串扰》一书（原书名：Transmission Lines in Digital and Analog Electric Systems: Signal Integrity and Crosstalk）。

分贝与奈培

两个电压的比值可以通过以下两种方式表示：

分贝（Decibels）：
分贝是表达电压比最常用的方式，基于以10为底的对数，计算公式为：

奈培（Nepers）：
奈培是另一种更少使用的电压比单位，基于自然对数（以 e 为底），计算公式为：

以下方程展示了如何将用奈培/米（nepers per meter）表示的衰减系数 α 转换为分贝/米（dB per meter）：

需要注意的是，负号仅表示存在损耗而非增益。该方程表明，若将奈培值乘以8.69，即可将其转换为分贝值；换句话说，1奈培等于8.69分贝。当我们将上述转换系数应用于方程9时，可得到以分贝每单位长度为单位的衰减常数，其表达式为：

方程右侧的第一项表示单位长度内的导体损耗（以分贝为单位）：

方程右侧的第二项则表示介质损耗（同样以分贝每单位长度为单位）：

介质损耗与导体尺寸
传输线的特征阻抗（Z0）通过以下方程与单位长度电容相关联：

其中 c 是真空中的光速。将上述方程与介质损耗 αd结合，可得：

其中 f的单位为千兆赫（GHz）。需注意，上述方程给出的介质损耗单位为分贝每英寸（dB/inch）。

方程15揭示了一个有趣的现象：介质损耗与电容 C无关。这是因为电导 G与 C成正比，而特征阻抗 Z0与C 成反比。因此，介质损耗（与 G*Z0 成正比）的最终结果与 C无关。

这也意味着，介质损耗与传输线的几何特征（如微带线的PCB走线宽度）无关。
但这是否说明PCB走线的损耗与其尺寸无关？图2展示了两种不同材料的损耗与走线宽度的关系曲线。

图2

根据方程15，介质损耗 αd与导体尺寸无关。然而，增加走线宽度（trace width）可以减少另一种重要的损耗项：导体损耗。正如我们在此系列文章中早前讨论的，电阻率为 ρ的传输线的交流电阻（AC resistance）可通过以下近似公式表示：

在上述方程中，p表示导体的周长，δ是趋肤深度（skin depth）。通过使用更宽的走线（trace），导体的周长 p增大，从而降低了交流电阻（RAC）和导体损（αc）。需注意，加宽走线可能对电路密度（circuit density）产生负面影响。

损耗随频率的变化
我们知道，趋肤深度（δ
）与频率的平方根成反比：

因此，方程12和16表明导体损耗随频率的平方根增加。另一方面，介质损耗与频率成正比（方程15）。

在低频和中频段，介质损耗非常小，总损耗主要由趋肤效应（导体损耗）决定。然而，在更高频率下，介质损耗逐渐占据主导地位，因为其增长速度比导体损耗更快。图3展示了在典型FR-4基板上一条40厘米长的走线中，导体损耗、介质损耗及其综合效应的对比。

图3

如图所示，在低频段介质损耗小于导体损耗；然而，随着频率升高，介质损耗逐渐成为主导因素。若以对数坐标表示衰减和频率轴，则当趋肤效应占主导时，曲线斜率约为½；而当介质效应占主导时，斜率变为1。通常，损耗项会以直线形式呈现（如图4所示）。

例如，图5展示了FR-4基板上一条宽8密耳（mil）的50Ω微带线的衰减特性。

传输线的其他工作区域

互连建模在现有文献中已被广泛研究。在之前的讨论中，我们了解了传输线的趋肤效应（skin effect）和介质损耗限制（dielectric limited）工作区域。根据传输线的长度、工作频率以及其RLGC模型中不同参数的数值，传输线可能以不同方式工作。

例如，集成电路中使用的导体具有更小的横截面积，这可能导致传输线的电感抗（inductive reactance）相对于其直流电阻（DC resistance）变得微不足道。此时，传输线的工作区域被称为 RC区域（RC region）。在这一区域中，传输线的响应特性完全不同。RC区域的特征阻抗由以下公式给出：

在趋肤效应和介质损耗限制区域（方程7）中，特征阻抗是一个恒定值，这使得提供匹配负载变得简单直接。然而，在RC区域中，特征阻抗与频率相关。这意味着如果需要在此工作模式下实现阻抗匹配，将变得非常困难。幸运的是，PCB走线通常不会表现出明显的RC模式现象。