图解理解 SSB 调制的相移法

本文利用频谱的 3D 模型来解密复杂的数学概念，例如希尔伯特变换和频移特性，这些概念使得相移法得以实现。
本系列之前的文章介绍了生成单边带 (SSB) 信号的滤波法和相移法。本文将深入探讨相移法，分析它如何改变输入信号频谱的实部与虚部。不同于之前主要从数学角度审视相移法的讨论，我们将借助图形表示来加深理解。

实信号的频谱
考虑一个实数值的消息信号，它将被作为 SSB 波发射。实值函数的傅里叶变换呈现共轭对称性，这意味着频谱的实部是偶函数，而虚部是奇函数。图中所示即为图 1 的两部分。

图 1. 实值基带信号频谱的实部 (a) 和虚部 (b)。

图 2 展示了上述频谱的三维表示。该三维示意图使我们能够表示相移调制器内不同节点处的频谱。

信号频谱的三维示意图。

图 2. 使用三维示意图演示信号频谱。

让我们从使用该模型可视化希尔伯特变换开始。

阐释希尔伯特变换
希尔伯特变换是相移法的核心。正如我们在前一篇文章中所学到的，它对应于一个具有以下频率响应的线性滤波器：

希尔伯特变换将所有正频率分量偏移-90度，所有负频率分量偏移+90度，且不影响频谱幅度。

由于希尔伯特变换将频率分量乘以虚数单位j，因此会将实分量转换为虚分量，反之亦然。图3展示了图2所示频谱经过希尔伯特变换后的变化。

输入信号的频谱、经希尔伯特变换产生的空间旋转，以及希尔伯特变换输出信号的频谱。

图3. 输入信号频谱(a)，希尔伯特变换导致的象限空间旋转(b)，希尔伯特变换输出频谱(c)。

由上可知，希尔伯特变换将空间的正频部分与负频部分分别朝相反方向旋转90度。为避免混淆这两部分空间旋转的方向，我们分析几个示例。

设点M(f1) = 1 + j（其中f1为正频率），其输入频谱的实部与虚部均为正值。由于f1是正频率分量，希尔伯特变换将其乘以-j，从而得到：、

由此可知，该频点处的输出应具有正实部与负虚部。这与图3(b)一致。

接下来考虑负频率分量(f2)，其具有正实部与负虚部：M(f2) = 1 – j。该点对应图3(a)的负频部分。希尔伯特变换将产生：

由此可知，输出信号的实部与虚部均为正值。该结果同样与上图一致。

移位特性与相位调制器
理解希尔伯特变换对输入频谱的修正后，现需深化对相位调制器工作原理的认知。为此需回顾傅里叶变换的重要特性——移位特性：时域信号乘以复指数可表述为：

其中：

x(t) 为时域信号

X(f) 为 x(t) 的傅里叶变换

ω0 为恒定频率。

换言之，频谱将发生恒定频率（ω0）的偏移。

基于上述原理，现分析图4所示的相位调制器框图。

相位调制器电路

图4. SSB相位调制法的功能框图。

VA 和 VB 分别表示上下路径输出端的信号。图中这两点亦称为节点A与节点B。

首先分析上行信号路径。利用欧拉公式，余弦本地振荡波 cos(ωct) 可表示为：

根据移位特性，图4中上行乘法器将消息频谱偏移±ωc，并将振幅幅度缩放0.5倍。其生成频谱（未缩放幅度）如图5(a)所示。

与此同时，输入至下行路径本振的正弦波可表示为：

下行路径将消息信号的希尔伯特变换与上述复指数项混频以生成VB。为直观理解该过程，请先观察图5(b)所示的VB频谱（建议在新标签页打开此图），再继续后续分析。

图5. 上行乘法器生成频谱(a)，下行乘法器生成频谱(b)，输出加法器合成频谱(c)。

公式6的首项将希尔伯特变换输出频谱（图3(c)的Mh(f)）偏移至ωc中心位置，缩放因子为1/2j。除以虚数单位j对应-90度相移，生成图5(b)输出频谱的正频部分。

除以j还会转换实部与虚部的角色：Mh(f)的实部在节点B转为虚部，虚部转为实部。

公式6的第二项指数项将希尔伯特变换输出频谱偏移至-ωc，缩放因子为-1/2j = j/2。仅考虑缩放因子j时，输出频谱偏移+90度。在三维表示中，这等效于空间顺时针旋转一个象限。需注意：空间象限旋转同样会使实部虚部互换。

调制输出频谱
调制器电路通过叠加节点A与B的频谱生成输出信号（本例生成下边带信号）。若将输出端加法器替换为减法器，则生成上边带。

下边带的振幅与极性相同，叠加后形成缩放因子为2的输出信号（图5(c)）。上边带的实部与虚部振幅相同但极性相反，叠加后相互抵消。

相位调制法的其他理解视角
本文分析了消息信号实部与虚部及其在相位调制电路中的变换。但部分相位法解释仅考虑信号频谱的实部。

以图6为例（摘自Thomas H. Lee所著射频设计经典《CMOS射频集成电路设计》），该图展示了信号实部通过电路的变换过程。

仅考虑信号实部的相位法示意图

图6. 仅考虑输入频谱实部时的SSB信号相位生成法

尽管该方法简化了电路原理说明，但完整的相位法分析应涵盖频谱的实部与虚部。