理解相位调制与频率调制之间的差异

解为何相位调制（PM）与频率调制（FM）生成的波形可能近乎相同也可能截然不同——这完全取决于消息信号的性质。
尽管频率调制（FM）和相位调制（PM）同属角度调制范畴，两者产生的波形却存在差异。FM的频偏仅取决于消息信号的幅度，而PM的频偏则同时受消息信号幅度和频率的影响。本文将深入探讨这些差异，以深化对FM与PM波的理解。

PM波与FM波
任意消息信号的PM波与FM波可分别由公式1和公式2给出：

其中：
m(t) 表示消息信号
A_c 表示载波幅度
f_c 表示载波频率
k_p 表示相位偏移常数
k_f 表示频率偏移常数

正弦消息信号的调频波与调相波
首先假设消息信号为如下正弦函数：

通过将公式1代入运算，可立即得出该消息信号的调相波表达式：随后通过对消息信号进行积分运算导出调频波表达式：最终生成的波形与原始消息信号可查看图1所示。

图1：正弦消息信号（上）、对应调相波（中）及对应调频波（下）

需注意这些波形采用下列参数值：
f_c = 100 Hz
A_m = 1 V
f_m = 2.5 Hz
k_p = 20 rad/V
k_f = 300 Hz/V

正如本系列前文所述：当m(t)呈正斜率时调相波频率上升，负斜率时频率下降。为分析调频波的频率变化，需求解其瞬时频率：

这里需要指出两点：

1. 调相波频率取决于m(t)的斜率，而调频波频率随消息信号的瞬时值变化。图1证实：当消息信号达峰值时调频波频率最高，信号处于谷值时频率最低。

2. 图1显示：对于正弦消息信号，若未观测原始消息信号则无法区分调相波与调频波。但后续将证明，该结论不适用于非正弦消息信号。

瞬时频率如何随A_m变化？
在深入探讨前，先通过上例详细观察瞬时频率随消息幅度（A_m）的变化规律。调相波的瞬时频率可通过其瞬时角微分求得：

瞬时频率中随消息信号变化的部分称为频偏。调相波的频偏表达式为：同理，可利用公式6给出的调频波瞬时频率求其频偏：
公式8与公式9表明：调相波与调频波的频偏均与消息信号幅度（A_m）成正比。图2所示波形将直观呈现该关系：

图2：上图为A_m=1V（左）与A_m=1.25V（右）的消息信号；中图为对应调相波；下图为对应调频波

图中左列展示A_m=1V时的波形，右列为A_m=1.25V时的波形。两组波形共用以下参数：

f_c = 100 Hz
f_m = 2.5 Hz
k_p = 20 rad/V
k_f = 300 Hz/V

通过图2光标数据对比两调相波的最低频率（注：点击图片可查看高清大图以便观测）：
当A_m=1V时，根据公式10通过波形最长周期估算调相波最低频率：

当A_m=1.25V时：频偏比值为：

该比值接近对应消息幅度比值（1.25/1=1.25）的倒数，因此可断定调相波频偏与消息幅度成比例。

同理验证调频波频偏与消息幅度的比例关系。取A_m=1V数据点，通过波形最长周期估算最低频率：

当A_m=1.25V时：

频偏比值：

f_d2 / f_d1 = 0.8 / 3.1 ≈ 0.258
该值合理趋近于预期比值1.25（对应A_m=1.25V与1V的幅度比）。

消息信号频率的差异化影响
通过分析调频波与调相波的频偏表达式（公式8和9），可揭示两者核心差异：与调频波不同，调相波的频偏受消息信号频率（f_m）影响。为说明此现象，取两组不同f_m值生成波形：

图3：消息信号（上）、调相波（中）及调频波（下）。左列：f_m=2.5Hz；右列：f_m=2Hz

由公式10可得：
当f_m=2.5Hz时，调相波频偏为：

f_d1 = –50 Hz

当f_m=2Hz时，频偏计算如下：

频偏比值为：

该比值与消息信号频率比完全一致（2/2.5 = 0.8）。

当f_m=2.5Hz时，调频波频偏为f_d1 = –47.09 Hz（此数值由公式13在前文算出）。当f_m=2Hz时，其频偏为：

该结果与f_d1 = –47.09 Hz合理接近，表明调频波频偏不受消息频率影响。

频偏变化规律总结
在继续分析前，先归纳核心结论：

1. 调频与调相中，频偏均与消息信号幅度（A_m）成正比（图4所示）

图4：消息幅度对调频波与调相波频偏的影响规律相同

1. 调相波频偏还与消息频率（f_m）成正比

2. 调频波频偏则不受f_m影响（图5所示）

3. 

   
   

图5：消息频率对调频波（橙）与调相波（蓝）频偏的影响对比

阶跃消息信号的调频调相波形
此前仅讨论正弦消息信号的情况。若消息信号为阶跃函数？图6展示其波形：

6：阶跃消息信号（上）、对应调相波（中）及调频波（下）

图6中消息函数在t=0.05秒处发生单位阶跃跃变（0→1）：

• t<0.05秒：消息信号为0 → 未调制载波

• t>0.05秒：m(t)恒为1

中图调相波分析（设k_p=π/2）：

• 阶跃瞬间引入π/2相移

• 恒定消息信号仅改变相位不改变频率 → 阶跃后频率不变

下图调频波特性：

• 单位阶跃函数的积分随时间线性增长（斜率为1）

• 载波相位参数引入(2πk_f t)项

• t>0.05秒时调频波表达式为：

这表明阶跃跃变后调频波频率增加了k_f。

对比图1（正弦消息信号）与图6的角度调制波形可见：

• 图1中若无消息信号显示则无法区分PM与FM波形

• 图6中二者差异显著
  关键结论：根据消息信号类型不同，调相与调频可能生成相似或完全迥异的波形。

核心要点总结
幅度调制中，已调波包络直接反映消息信号变化；而角度调制中，消息信号对载波的影响更为微妙，且具体作用机制因调制类型而异：

核心差异体现于频偏与消息信号的关系：

• 调频(FM)：频偏仅受消息信号幅度影响

• 调相(PM)：频偏同时受消息信号幅度与频率影响

本文示例揭示了消息信号对两类角度调制波的作用机制差异。