利用瞬时频率表征PM和FM信号

本文将从数学角度探讨调相(PM)与调频(FM)的关系，阐述如何利用调相调制器生成调频信号（反之亦然）。角度调制技术分为调相(PM)与调频(FM)两类：本系列前文通过波形实例解析了信息信号对调相波的影响，接下来我们将从数学层面拓展讨论范围，建立两种调制的瞬时频率表征模型。

通过瞬时频率概念，我们将构建两类信号的数学模型，进而揭示两种角度调制形式的内在关联。研究表明：调相与调频具有高度关联性，只需添加辅助电路即可实现调制器交叉生成另一种调制信号。

调相波：相位与频率的数学关系
角度调制信号可表征为具有恒定振幅的正弦函数，其辐角θi随传输的信息信号变化：

我们将θi称为瞬时角度或瞬时相位。在调相(PM)中，瞬时角度随信息信号线性变化：

其中：
fc 表示载波频率
kp 为比例常数
m(t) 代表信息信号

图1展示了由正弦信息信号生成的调相波：载波频率fc=80 Hz，比例常数kp=25 rad/V。

图1. 正弦信息信号（上图）及其对应的调相波（下图）。

如图所示，信息波形的下降沿导致输出频率降低，而上升沿则使输出频率升高。前文已通过多个实例说明信息信号上升/下降沿如何影响调相波频率。

此现象的另一解释视角是：当信息信号随时间增大时，其在2πfct产生的相位项（见公式2）基础上叠加了递增项，导致调制波相位更快完成完整周期，表现为频率升高。换言之，在m(t)的正斜率区间调相波呈现压缩特性。

反之，当信息信号随时间减小时，其引入的负相位变化会抵消部分2πfct项产生的正相位变化，使调制波完成完整周期所需时间延长，导致频率降低。即：在m(t)的负斜率区间调相波呈现拉伸特性。

为深入理解该原理，考虑载频fc=100 Hz时的正弦函数：

其中φ(t)表示附加相位偏差。图2展示了该正弦波在三种不同φ(t)条件下的1/4周期波形：
条件1：φ(t) = 0
条件2：φ(t) = 90 – 100t
条件3：φ(t) = 90 + 100t

图2. 公式3所述波形在三种不同φ(t)条件下的1/4周期图示。

图中蓝色曲线（φ(t) = 0）代表未调制波，其1/4周期完整占据0至2.5 ms区间。

红色曲线（φ(t) = 90 + 100t）对应信息信号随时间增大的调相波。此时φ(t)产生的正相位变化与2πfct项相位变化叠加，导致0至2.5 ms区间内容纳超过1/4个周期。

绿色曲线（φ(t) = 90 – 100t）代表相位项递减的调相波。φ(t)的负相位变化部分抵消2πfct项的正相位变化，致使0至2.5 ms区间内包含不足1/4个周期。

瞬时频率
频率为fc、振幅为Ac、初始相位为φ0的未调制信号，可用以恒定角速度2πfc旋转的相量表示（图3a）。角度调制信号则表现为振幅恒为Ac、但角速度随时间变化的旋转相量（图3b）。

图3. 未调制信号(a)与角度调制信号(b)的相量表示

现在深入分析角度调制波。如何表征其旋转频率？当θi变化2π弧度时，对应相量完成整周旋转。因此，从t到(t+Δt)时段内的平均频率（赫兹）可通过下式求得：

对于频率为fc、初始相位为φ0的未调制载波，该方程可导出：由此可见，未调制载波的平均频率恒等于fc。对于角度调制信号，平均频率取决于观测时段内信息信号的取值。但当公式4中的Δt趋近于零时，所得频率可解释为旋转相量的瞬时频率fi(t)。此时方程可改写为θi的时间导数形式：

由该方程可得，对应相量的角速度恒等于2πfi(t) rad/s。

运用瞬时频率概念可解释图1调相波的行为特性：将公式2的θi代入瞬时频率方程后表明——信息信号随时间增大时输出频率升高，反之则降低。

这表明：当信息信号随时间增大时，输出频率上升；反之当信息信号减小时，输出频率下降。

PM与FM信号表征
理解瞬时相位和瞬时频率基础后，可用二者统一描述PM与FM方案。将瞬时相位写作：

其中ϕ(t)表示相位偏差，则公式1描述的角度调制波可表示为：

（严格遵循要求：

这表明瞬时相位是由2πfct项设定的中心值与ϕ(t)之和。两种角度调制形式中，ϕ(t)均取决于信息信号。对于PM，ϕ(t)与信息信号成正比：

其中kp为比例常数。若m(t)为电压量，则kp单位为rad/V（弧度/伏特）。

公式9所述调制波的瞬时频率由瞬时相位的导数决定：

瞬时频率中随信息信号变化的部分称为频率偏移：在调频(FM)系统中，频率偏移与信息信号成正比：

其中kf为频率偏移常数。若m(t)为电压量，则kf单位为Hz/V（赫兹/伏特）。

对上述方程积分可得ϕ(t)，代入公式8即得调频信号方程：

需注意：积分通常会产生常数项，但假设未调制波在t=0时相位角为零，故可消除该常数项。

关于常数项，需说明比例常数kp有多种命名：在不同文献中可称为相位偏差常数、调制器相位灵敏度、相位调制指数或简称调制指数。同理，频率偏移常数kf亦称调制器频率灵敏度。

FM与PM的转换关系
当输入信号满足特定关系时，调频与调相调制器可产生相同输出。对比公式14与调相方程：

由公式14和15可得，两种调制方法产生相同输出需满足：

其中：
mf(t) 为调频调制器输入信号
mp(t) 为调相调制器输入信号

公式16表明：若mp(t)是mf(t)的积分，则调相与调频电路输出相同。简言之，在调相器输入端添加积分器即可生成调频信号（图4）。

图4. 利用调相器生成调频波公式16亦表明：若调频调制器输入信号等于调相调制器输入信号的导数，两者输出相同。这意味着对信息信号微分后输入调频调制器，即可生成调频信号（图5）。图5. 通过调频调制器生成调相波例如图6左上部分所示的方波信息信号m(t)：

图6. 左上：方波信息信号；左下：对应调频波；右上：未调制锯齿波；右下：对应调相波

左下象限显示该方波信息对应的调频波（fc=5 Hz, kf=1.59 Hz/V）。右上象限为锯齿波，右下象限展示其在kp=10 rad/V时的调相波。

二者并置时调制波形完全一致。由于方波积分可得锯齿信号，此现象符合预期。

结论
本文通过数学分析深化了对角度调制（PM与FM）的理解。基于瞬时频率概念，我们探究了调相与调频方法的紧密关联。期望本文能助您深入理解这些调制技术及其产生信号的时域特性。