基于状态反馈控制的倒立摆系统分析和设计

1 引言
    倒立摆是研究控制理论的典型实验平台。由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定，并且可以承受一定的干扰，采用极点配置法设计用于直线型一级倒立摆系统的控制器。

2 数学模型的建立
    因为倒立摆系统本身是一个自不稳定的系统，因此实验建模存在一定的困难。然而，经过谨慎的假设，忽略掉一些次要因素，就能使倒立摆系统成为一个典型的运动的刚体系统，使之在惯性坐标系内应用经典力学理论就能建立系统的动力学方程。下面采用牛顿一欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
2．1 微分方程的推导
    在忽略空气阻力和各种摩擦后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图l所示。

    假设M为小车质量；m为摆杆质量；b为小车摩擦系数；
l为摆杆转动轴心到杆质心的长度；I为摆杆惯量：F为加在小车上的力；x为小车位置；φ为摆杆与垂直向上方向的夹角；
θ摆杆与垂直向下方向的夹角图2示出系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向分量脚。值得注意的是：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已确定，因而矢量方向定义如图2所示，图示方向为矢量正方向。

    分析小车水平方向所受的合力，可得方程为：
    MX=F—bi—N
    由摆杆水平方向的受力进行分析，可得：

   
    式(2)代入式(1)，可得系统的第1个运动方程为：

   
    为了推出系统的第2个运动方程，对摆杆垂直方向上的合力进行分析，由此可得方程为：

   
    方程中力矩的方向，由于θ=π+φ，cosφ=-cosφ，sinφ=-sinθ，故等式前有负号。合并式(4)和式(5)，简化得到第2个运动方程：

    
    设θ=π+φ(φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位rad)，假设φ与1相比很小，即φ<<1，则可以进行近似

   
2．2 状态空间方程
    由方程组(8)对x，φ解代数方程，整理后得：

   

   
2．3 实际系统模型
    实际系统模型参数：M=1．096 Kg；m=0．109 Kg；b=0．1 N／m/s；l=0．25 m；I=0．0034 kg·m·m；采样频率T=0．005 s。
    以小车加速度作为输入的系统状态方程：

   
3 状态空间极点配置
    对于直线一级倒立摆的极点配置转化来说：要按上述系统设计控制器，则要求具有较短，约3 s的调整时间和合适的阻尼比ζ=0．5。要使系统具备能控、能观且易验证。步骤为：计算特征值。根据要求，设调整时间为3 s，并留有一定的余量，选择期望的闭环极点：是一对具有ζ=
0．5，ωn=4的主导闭环极点。μ1，μ2位于主导闭环极点的左边，其影响较小，因此期望的特征根方程为：

4 仿真验证
    建立直线一级倒立摆的仿真模型如图3所示。“GLlIPState—Space”为直线一级倒立摆的状态空间模型。双击图3中的“Poles Control”模块，打开图4中的设置窗口。

    把计算得到的K值输入到上面的窗口。可得图4所示的仿真运行结果。

    由图5可见，在存在干扰的情况下，系统在3 s内基本上可以恢复到新的平衡位置。

5 实时控制
    将仿真得到的K参数输入到实际系统的控制模块中，可得图6所示实时控制曲线。在给定倒立摆干扰后，系统响应图7所示。

6 结语
    采用极点配置法设计的用于直线型一级倒立摆系统的控制器，可使系统在很小的振动范围内保持平衡，小车振动幅值约为4×10-3m，摆杆振动幅值约0．05 rad，系统稳定时间约3 s。