信道估计与均衡中的ZF技术

什么是Zero Forcing 技术？

在上一篇文章中，我们对通信信道模型有了初步了解。一些常用的模型比如ZF、MMSE等算法，被用于信道估计与均衡。

在这一篇文章我将解释迫零（zero-forcing，ZF）技术。它在概念上和数学上都可能是一种最简单的模型，但它有一个严重的缺陷，叫做“噪声放大”。但在很多情况下，这些技术是为了简单而使用的，就学习信道建模理论而言，这是一个很好的学习起点。(你可能已经有问题了，比如“为什么它被称为迫零?” 迫零的实际意义是什么?为什么这项技术会导致噪音放大?把这些问题都记在脑子里。有些问题会在数学过程中自动得到解答)。

我将从最理想/最简单的情况开始，扩展到更复杂但更现实的模型，如下所示。

l 无噪声相同Tx和Rx天线数

l 有噪声相同Tx和Rx天线数

l 无噪声不同Tx和Rx天线数

l 有噪声不同Tx和Rx天线数

一、无噪声相同Tx和Rx天线数

有许多实际情况下使用相同数量的Tx天线和相同数量的Rx天线，但很少有情况下没有噪声。但是我会从简单的数学过程开始，让它更容易理解。

让我们从最简单和几乎理想的情况开始，Tx天线的数量与Rx天线的数量相同，并且在信道中没有噪声。更具体地说，我们假设是2 × 2 MIMO的情况。这意味着两个Tx天线和两个Rx天线。

在这种情况下，信道模型可以如下描述(如果您不熟悉该表达式是如何产生的，请参阅信道模型概述部分)。需要注意的重要一点是在这种情况下通道矩阵H是一个方阵。此外，你会注意到方程中没有噪声项，因为我们假设它们是无噪声的。

这是这个信道的系统方程并且是信道模型的终点。足够简单吗？

现在让我们假设我们需要找到从这个信道模型找出传输数据的方法。这是接收器设计的目标。

假设我们已经有了关于信道矩阵(H)的所有信息，现在的问题就是用x来解下面的方程，也就是在下面的方程中求出x。(你可能会问我们怎么知道“H”，但我们就假设它已经给我们了。这是另一个大的主题，应该作为一个单独的页面来涵盖)。

由于Tx和Rx天线的数目相同，H为方阵。从上面得到“x”很简单，就像你可能从初等线性代数课程中学到的那样。

本案例的解决过程可以总结如下。

它可能看起来很简单，但在某些特殊情况下，可以用这种方法解决问题。条件总结如下。

二、有噪声相同Tx和Rx天线数

现在让我们考虑添加了Noise的情况。在这种情况下，由于噪声项，我们不能直接求解方程。噪声项只能通过统计方法进行估计，这个估计过程可以描述如下。

最后的方程会变成这样。

三、无噪声不同Tx和Rx天线数

现在我们来看一个非方阵信道矩阵的例子。我们将研究以下案例作为示例。如你所见，我们有两个发射天线和四个接收天线，这意味着发射天线和接收天线的数量是不一样的。

到目前为止，您应该能够为给定的任何配置构建信道矩阵。如果没有，请尝试更多的实践，为各种发射机和接收机组合创建一个信道矩阵。这种情况下的信道矩阵如下。

如你所见，信道矩阵不是方形的。我们有两个变量(未知数)我们要算出来，但我们有四个方程。这就是线性代数课上所谓的"过定"情况。在这种情况下，我们不能有任何解析解(精确解)，因为信道矩阵的逆不存在。

在这种情况下，您不能得到任何精确解(精确答案)，但是您可以通过各种技术得到近似答案。在这种情况下，我们使用的常见技术之一是“最小二乘误差（LSE）”方法，其总体逻辑如下。

让我们先看看我们知道什么，不知道什么。“y”是一个已知的值(矢量)，因为它是接收天线接收/测量的。我们也假设H是已知的。x现在是未知的，这就是我们要求的。

现在让我们尝试一个有趣的事情。因为在这种情况下，没有解析解来求x。让我们假设我们做一个猜测，并把任何猜测的数字代进去。现在我们有两个部分，一个是y，它来自直接测量，另一个是Hx，它是由H和猜测值x计算出来的。因为在这种情况下x只能是近似值，如果你取y和Hx的差值，你总会得到一个非零值。我们称这个值为误差。如果我们用数学形式来表示，就会变成这样。

继续对x进行猜测，并代入猜测的x，计算误差值。如果你不断尝试这个几乎无限次，得到猜测的x值，产生最少的e(误差)，你可以称它为这个方程的最佳近似答案。但如果你做这种盲目的猜测，那你永远也找不到答案。

让我们用数学方法来解决这个问题，而不是做无休止的疯狂(盲目)猜测。我们的目标是找到使e最小的x。通过两边平方，我们可以得到一个数学形式，这个值的最小值(或最大值)可以用解析方法找到。(如果你不熟悉最小二乘误差法，你的第一个问题可能是“为什么我们需要得到方程的平方?”这是一个非常好的问题和重要的问题。但我不想详细解释，因为那会偏离我们的话题太多。然而，我强烈建议你试着阅读一些关于“最小二乘”或“最小二乘误差”方法的材料)。

现在我们原来的问题归结为求出一个二次函数的最小值x，如下所示。

从高等数学中，你会想起任何二次函数。函数的一阶导数(切线斜率)在最小(或最大)位置为0。

通过一个漫长而乏味的过程(为了不让你感到无聊，我不会去做所有的步骤)，它会给你如下所示的最终答案。重要的是你可以通过y和H得到x的最佳近似值。有人可能不熟悉另一个符号'H'在上标。它是厄米特矩阵符号。如果你能保证信道矩阵的所有元素都是实数，你可以使用'转置'矩阵，但它不能覆盖信道矩阵有任何复数元素的情况。厄密特矩阵既能处理实矩阵，又能处理复数矩阵，因此使用厄密特矩阵是安全的。

尽管这看起来是一个漫长、令人困惑、可怕、乏味的过程，但这是最简单的方法之一。这是一个简单的做法，但是在特定的情况下却会引起一些问题。所以他们开发了一种更复杂但更稳健的方法，叫做“MMSE”。