1. 自适应 FIR 滤波器基础知识

自适应滤波器的一些经典应用包括系统识别、通道均衡、信号增强和信号预测。建议的应用程序是降噪，这是一种信号增强。下文描述了此类应用程序的一般案例。

当信号x（k）因噪声n1（k）损坏时，信号n2（k）与噪声相关。当算法收敛时，输出信号 e（k）将是信号的增强版本。

平均方形误差 （F[e [k]= [|E[e（k）|2]）是重量参数的二次函数。此属性很重要，用于自适应过滤器，因为它只有一个通用的最小值。这意味着它适用于许多类型的自适应算法，并将导致一个体面的收敛行为。相比之下，IIR 过滤器需要更复杂的算法和对此问题的分析。

有许多自适应算法可用于信号增强，如牛顿算法、最陡峭的下降算法、最小平均方 （LMS） 算法和递归最小方块 （RLS） 算法。我们选择使用 LMS 算法，因为它是计算成本最低的算法，并提供了一个稳定的结果。

2 LMS算法

下面的方程描绘了 LMS 算法。

1. 滤波：
   y （k） = XT（k） W （k）

2. 错误估计：
   e （k） = d （k） - y （k）

3. 滤波器系数更新：
   g （k）=2e （k）x （k）
   W （k+1） = W （k）+ug （k）
   其中 k 是算法的迭代次数 ，y(k)是滤波器输出，x(k)是输入信号组成的一组向量，w(k)是滤波器系数向量，e(k)是误差信号，d(k)是期望信号，u 是收敛因子（步长），W(k+1) 是下一次迭代的滤波器抽头权重。在这个算法中，g(k) 是一个重要的值。它是估计的梯度（E[e2(k)] 在抽头权重上的偏微分）或当前误差信号的平方的投影，e2(k) 在滤波器抽头权重上。当算法收敛时，g(k) 预计是一个非常小且均值为零的数。
   步长 (u) 必须在 0 < u < 1/Lmax 范围内，其中 Lmax 是 R = E[X(k)TX(k)] 的最大特征值（R 的属性之一是 R 应该是非负实数）。实际上，当 Lmin 远小于 Lmax 时，建议 u 远小于 1/Lmax。该算法收敛所需的最小步数与 Lmax / Lmin 成正比。