基于PSO的FIR数字滤波器设计

1 引入粒子聚合度的改进粒子群优化算法
1．1 粒子群优化算法(PSO)
    PSO算法是美国Kennedy和Eberhart受鸟群觅食行为的启发，于1995年提出的。该算法的思想是通过种群粒子间的合作与竞争，产生群体智能指导优化搜索。PSO算法可用式(1)表示。

   
式中：vidk是粒子i在第k次迭代中第d维速度；xidk是粒子i在第k次迭代中第d维的位置；ω是惯性权值系数；pbestidk，是粒子i在第k次迭代中第d维个体极值点的位置(即个体最优)；gbestdk是整个种群在第k次迭代中第d维全局极值点的位置(即全局最优)；r1，r2是[0，1]之间的随机数；c1，c2是加速系数，或称学习因子。
1．2 带粒子聚合度的改进粒子群优化算法
    由式(1)可知，如果粒子的当前位置在gbest，此时个体极值点与全局极值点为同一点，即pbest与gbest相同。这时粒子速度若等于零，则种群的粒子将会出现进化停滞，算法只能收敛到种群目前寻找到的最优解gbest。假如这时gbest对应的只是一个局部最优解，那么算法就出现了早熟收敛现象。
    针对PSO算法存在早熟和局部收敛的问题，在基本PSO的基础上，加入粒子聚合度n和一个线性递减的惯性权值系数ω，对PSO算法进行改进。
    聚合度n是用来反映粒子群聚集程度的一个系数。当粒子群出现高度聚集，进化停滞时，n随迭代次数递增；当n大于一个阈值λ(此阈值根据具体情况选择)时，对粒子进行变异，使变异粒子跳离当前位置，进入其他区域。在其后的搜索中，算法有新的个体极值pbest和全局极值gbest，从而跳出局部收敛。多次循环迭代后，就能找到全局最优。
    改进的算法可用式(2)和式(3)表示：

   
式(2)中rand是[0，1]间的随机数：
式中：max Xd和min Xd分别是粒子在d维空间上的最大值和最小值。
    惯性权值系数叫决定控制算法的收敛特性，当ω较大时，全局搜索能力强；当ω较小时，局部搜索能力强。文献[6]通过大量实验证明，如果ω随算法迭代的进行而线性减小，将显著改善算法的收敛性能。在此，取：

   
式中：(ωmax为最大惯性权值系数；ωmin为最小惯性权值系数；k为迭代次数；ksum为迭代总数。
    

2 用IMPSO设计FIR数字滤波器
2．1 FIR数字滤波器分析
    N阶FIR数字滤波器的单位抽样响应为k(0)，k(1)，…，k(N-1)，其传递函数可表示为：

   
    取z=ejω，可得到数字滤波器的频率响应为：

   
    如果设计FIR数字滤波器的理想频率响应为Hd(ejω)，则设计滤波器与理想FIR滤波器的误差e可通过对两滤波器的幅度在一定量的离散点上的误差平方和来表示，即取M个离散点时：

    由式(7)容易知得，误差e是滤波器N个系数h(n)(n=0，1，…，N-1)的函数。对FIR滤波器的设计，就要选取合适的滤波器系数h(n)，使误差e最小。显然，h(n)的选取是一个组合优化问题，因此可通过优化算法求解滤波器系数h(n)，实现FIR设计。
2．2 适应度函数
    IMPSO通过适应度函数来确定粒子当前位置的优劣，因此选式(7)作为优化设计FIR数字滤波器的适应度函数。即：

   
    显然，Fithess函数值越小，则对应滤波器的幅度均方误差就越小，该粒子就对应更佳的滤波器系数。算法结束后，适应度最小的粒子所代表的参数值就是滤波器的最优系数。
2．3 算法编码及流程
    为了用IMPSO算法求解h(n)，应对优化参数h(0)，h(1)，…，h(N-1)进行适当的编码，以形成IMPSO算法中的粒子。算法用实数来表示各参数，h(0)，h(1)，…，h(N-1)分别表示N个粒子当前的位置；vh(0)，vh(1)，…，vh(N-1)分别表示当前粒子的速度；pbest(0)，pbest(1)，…，pbest(N-1)表示各粒子的个体最优，gbest表示全体的最优解。算法流程如图1所示。

3 仿真算例
    为了验证所提出算法的有效性，在计算机上采用Matlab语言进行FIR数字滤波器设计的仿真实验。同时为了比较算法性能，还采用基本遗传算法(BGA)和基本粒子群优化算法(BPSO)进行了相同的滤波器优化设计。仿真实验中，粒子群优化算法的参数设置为：群体大小Size=30，参数维数Codel=30，最大惯性权重为O．9，最小为0．2，聚合度为20，最大迭代次数为200；遗传算法参数设置为：种群30，遗传代数200，交叉概率0．5，变异概率0．1。
    实例1 设计一个低通FIR数字滤波器，其技术指标如下：

   
    实例2 设计一个带通FIR数字滤波器，其技术指标如下：

   
    图2和图4分别是三种算法在设计FIR低通和带通数字滤波器的参数优化过程图。

    图3和图5则是用三种不同算法设计的FIR低通和带通数字滤波器。从图2和图4中容易看出，无论是对低通还是带通滤波器的设计，因为IMPSO对BPSO加入了聚合度检测，能进行智能变异，同时采用线性递减的惯性权值系数。因此与BPSO相比，IMPSO既有最快的寻优速度，也具有最好的适应值，只要迭代次数设置合理，在迭代次数范围内，粒子总会找到全局最优值。BPSO与BGA的寻优速度慢，容易陷入早熟收敛，很难得到理想的最优参数。由图3和图5的FIR低通与带通数字滤波器的幅频特性曲线可明显看出，利用IMPSO设计的滤波器在三种算法中最接近理想的滤波器，是较好的FIR滤波器设计方法。

4 结 语
    在此通过加入聚合度，并将遗传算法中的变异思想引入到PSO算法中，对粒子实现智能变异，能有效克服标准．PSO容易进入局部收敛的缺点。同时由于该算法用到的参数少，程序实现简单，因此与BGA等其他算法相比，具有运算量少，寻优速度快等优点。通过实例仿真结果表明，这里提出的IMPSO算法在FIR低通与带通数字滤波器的设计上比BPSO和BGA具有更好的收敛速度和搜索能力。在设计FIR带阻和多通带数字滤波器时，IMPSO也是一种有效的设计方法。