写给大忙人看的上帝公式！

前面的话

记得以前上数字信号处理的课时，老师上来就是一个欧拉公式，然后直接blablabla从时域到频域......全程都是云里雾里的状态；本文因为项目的一篇论文中公式的推导，无奈重新捡起了课本，真是书到用时方恨少啊，本文预计只需2分钟看完；适合大忙人看

目录

• 欧拉公式

• 几何意义

• 复数平面

• 动态过程

• 加法

• 总结

欧拉公式

欧拉公式被誉为上帝公式；在理工科因为是比较基础的知识，并且我一直没有理解和掌握，这样很难搞清楚实数平面如何换算到复数平面，所以这里有必要简单剖析一下，从而加深记忆；

欧拉公式如下所示；

这两个公式都被称之为欧拉公式；

是自然对数的底， 是虚数（ ）。

根据式 ① 可以推导出以下另外两个变式；推导过程如下；令 ，可以得到④式，如下；

所以 ③ 等式左右两端与 ④ 式 相加得到；

所以 ③ 等式左右两端与 ④ 式 相减得到；

几何意义

则表示模长为 的向量旋转了角度 ，下面会进一步介绍。

复数平面

复数平面坐标 轴作为实数轴， 轴作为虚数轴。这里可以通过欧拉公式，将实数平面换到复数平面，如下图所示；已知这是一个半径为 ，圆心为 的圆，则存在；

上式表示向量 逆时针旋转了角度 , ；

动态过程

假设向量 逆时针旋转，与 轴夹角为 ，半径 ，即 ，具体如下图所示；这里分析一下图中的几个关键点；

• 红色点的坐标为： ，红色的正弦曲线为红色点的运动轨迹；
• 绿色点的坐标为； ，绿色的正弦曲线为绿色点的运动轨迹；
• 为向量 在 轴上的投影， ；
• 为向量 在 轴上的投影， ；

可以发现，向量在复平面做圆周运动，其实数域相当于是在做正弦运动。

加法

欧拉公式里的相加则比较简单，相当于两个向量的相加；

如下图所示；所以存在特殊情况当 时则有；

直接进行符合向量相加；

具体如下所示；

总结

磕磕绊绊写了最后，基础学科的掌握还不够，很多知识回过头来看，总会有新的收获，但是由于笔者能力有限，写的不是很好，推荐马同学的文章 https://www.matongxue.com/madocs/8.html，感兴趣的可以看看。