什么是数学建模？数学建模的意义在哪里？

数学建模，就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述来建立数学模型。近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代技术的重要组成部分。数学模型(Mathematical Model)是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模(Mathematical Modeling)。不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解(通常借助计算机);数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性。自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充，使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。

数学建模是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。它是一种数学的思考方法，是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包括具体的自然现象，如自由落体现象，也包含抽象的现象，如顾客对某种商品的价值倾向。数学建模的过程就是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构，进而利用数学的理论和方法去分析和解决问题。

数学建模的意义在于它能够帮助我们更好地理解和解决现实世界中的复杂问题。通过数学建模，我们可以将实际问题转化为数学问题，利用数学工具和技术进行深入分析，从而揭示问题的本质规律，为决策提供科学依据。它不仅是数学学科的重要组成部分，更是数学应用的重要体现，培养了人们的逻辑思维、抽象思维和创新能力，使我们能够更加理性地应对复杂多变的现实世界。

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。这一过程涉及根据实际问题来建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据求解结果去解决实际问题。以下是对数学建模的详细具体且专业的阐述：

数学建模，顾名思义，就是用数学的语言和方法来描述和解决实际问题。这里的“数学语言”包括数学符号、数学式子、程序、图形等，而“实际问题”则涵盖了自然现象、社会现象、工程技术、经济管理等各个领域。数学建模的本质在于将复杂的实际问题抽象化、简化，并建立起相应的数学模型，以便更好地理解和预测这些问题的行为。

数学模型是一种模拟，它用数学的方式对实际课题的本质属性进行抽象而简洁的刻画。这种刻画可能解释某些客观现象，预测未来的发展规律，或为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略。数学模型并非现实问题的直接翻版，而是经过深入细微的观察和分析后，灵活巧妙地利用各种数学知识建立起来的。因此，数学建模既需要人们对现实问题有深入的了解，又需要人们具备扎实的数学基础和灵活的数学应用能力。

数学建模的过程通常包括以下几个关键步骤：

问题理解：这是数学建模的第一步，也是最重要的一步。在这一阶段，需要深入了解实际问题的背景、目的和要求，明确问题的边界条件和约束条件。同时，还需要对问题进行初步的分析和归类，以便选择合适的数学方法和工具来解决问题。

模型假设：在理解了问题之后，需要根据问题的特点和要求，作出一些合理的假设。这些假设是为了简化问题，使其更易于用数学语言来描述和解决。假设的合理性直接关系到模型的准确性和实用性。因此，在作出假设时，需要谨慎考虑，并尽可能基于已有的知识和经验来进行。

模型建立：在作出了合理的假设之后，就可以开始建立数学模型了。这一阶段的任务是用数学的语言和方法来描述实际问题，建立起相应的数学模型。这个模型可能是一个数学方程、一个数学表达式、一个数学图形或一个数学程序等。在建立模型时，需要充分利用数学知识和技巧，确保模型的准确性和可靠性。

模型求解：建立了数学模型之后，就需要对模型进行求解了。这一阶段的任务是运用数学方法和工具来求解模型，得到问题的解或近似解。求解过程可能涉及数值计算、符号计算、优化算法等多种数学方法和工具。在求解过程中，需要注意求解方法的适用性和求解结果的准确性。

结果验证：求解得到结果后，需要对结果进行验证和评估。这一阶段的任务是检查求解过程是否正确、结果是否合理以及模型是否适用于实际问题。验证方法可能包括实验验证、数据对比、专家评审等多种方式。在验证过程中，需要充分考虑各种可能的影响因素和误差来源，确保验证结果的准确性和可靠性。

模型应用：经过验证和评估后，如果模型被证明是准确和可靠的，那么就可以将其应用于实际问题中了。这一阶段的任务是将模型嵌入到实际问题的解决方案中，利用模型来预测未来趋势、优化系统性能或制定决策策略等。在应用过程中，需要密切关注实际问题的变化和发展趋势，及时调整和更新模型以确保其持续有效性和准确性。

数学模型的适用范围之广，令人叹为观止。应用于自然现象的模拟，资源优化配置，环境政策的制定等;在经济学和金融学中，金融市场理论可以用于刻画市场行为，优化资源配置，管理财务风险等;在医疗卫生方面，该模型能用于预测疾病的传播，合理分配医疗资源;在社会人文研究中，对社会现象的分析，对政策的制定，都具有重要的意义。虽然在众多领域中有着广阔的用途，但是在其发展过程中仍存在着许多问题。例如，建模的精度与复杂度，数据质量与可获得性，计算资源的需求，多学科协作的需要等。但随着大数据、人工智能、高性能计算等领域的不断发展，对模型的智能化、自动化和自适应能力的要求越来越高。

尽管数学建模在解决实际问题中具有强大的作用，但它也面临着诸多挑战。如何准确地抽象和概括实际问题，如何选择合适的数学方法和技巧，如何验证和评估模型的准确性和可靠性，这些都是数学建模过程中需要解决的关键问题。此外，随着大数据、人工智能等新兴技术的快速发展，数学建模也需要不断与时俱进，与这些技术相结合，以应对更加复杂和多变的实际问题。

然而，正是这些挑战孕育着机遇。通过不断尝试和创新，我们可以发现新的数学方法、拓展数学的应用领域，甚至推动数学学科的进步。数学建模为理论和实践的结合提供了桥梁，为我们更好地理解和解决现实世界中的问题提供了强有力的工具。在未来，随着科技的不断进步和应用需求的不断增加，数学建模将在更多的领域发挥其独特的作用，为人类社会的发展做出更大的贡献。