线性时不变系统的稳定性分析

1 引言
    线性时不变(Linear Time Invariant，简称LTI)系统指满足叠加性与均匀性、参数不随时间改变的系统。所谓稳定系统指如果系统受到有界扰动，无论它的初始偏差有多大，当扰动取消后．都能以足够的准确度恢复到初始的平衡状态。稳定性是系统自身的性质之一，它在宇宙航行、导弹制导等自动控制系统中是一个重要的性能指标。为了实现自动控制的基本任务。系统必须满足稳定性。然而，系统是否稳定，与激励信号的情况无关。通常，系统在激励作用下的响应r(t)可分为瞬态响应rtt和稳态响应rss。前者，表示系统在激励作用下的通解．是系统齐次微分方程的解，只与系统本身的参数有关，而与激励和初始条件无关；后者，表示系统在激励作用下的特解，与激励和初始条件有关。系统的冲击响应h(t)或系统函数H(s)集中表征了系统的本性，当然它们也反映了系统是否稳定。因此，研究系统的稳定性，可从时域或频域两个方面进行。

2 系统稳定的充要条件
2．1 频域充要条件
    频域指复频域即s域。从频域考虑，线性控制系统的稳定充要条件是H(s)的所有极点，即系统的特征方程根都具有负实部，或者说都位于s的左半平面。这相当于系统的冲击响应满足：

   
    如果特征方程根中任一根为正，即位于s的右半平面，它所对应的指数项将随时间而单调增长，整个系统因此而不稳定。同样，具有正实部的共轭复根所对应的瞬态响应是发散的正弦振荡。如果共轭复根位于s平面的虚轴上，则对应的瞬态响应为等幅正弦振荡。应当说明，等幅振荡的线性系统实际上是不存在的，而发散过程的系统，也并不意味着输出量会无限增大。实际控制系统的输出量只能增大到一定的范围，超出此范围或者受到机械止动装置的限制，或者系统遭到破坏，或者其运动形态超出线性理论所研究的范围而进入非线性工作状态，以致产生等幅振荡。
2．2 时域充要条件
    从时域考虑，稳定系统的另一种定义方式是：若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统，也称之为有界输入和有界输出(BIBO)稳定系统。
上述定义的数学表达式为：

   
式中：e(t)为对激励信号；r(t)为响应信号；Me和Mr为有界正值。
    当所有的e(t)满足式(2)时，r(t)亦满足式(3)，此时称该系统是稳定的。若按该定义逐个检验各种可能的e(t)满足式(2)和式(3)判断系统稳定性将过于繁琐。为此，推导出稳定系统的充要条件为：

   
式中：M为有界正值；h(t)为冲激响应信号。
    如果h(t)是绝对可积的，则系统稳定。

3 系统稳定性的判断
    根据稳定概念和稳定的充要条件，介绍两种判断系统稳定性的频域及时域的方法。
3．1 根据H(s)在s平面的极点分布来判断
    该方法属于频域判断法。对于因果系统，观察在时间t→∞时，h(t)是增长，还是趋于有限值或者消失，既可确定系统的稳定性。研究H(s)在s平面中的极点分布位置，可方便地给出有关稳定性的结论。按H(s)在s平面中的极点分布位置，因果系统可划分为稳定系统、不稳定系统、临界稳定系统3种情况。
    (1)稳定系统若H(s)的全部极点均落于s的左半平面(不含虚轴)，则可满足lim[h(t)]=0，此时系统是稳定的。
    (2)不稳定系统 若H(s)的极点落于s的右半平面或在虚轴上具有二阶以上极点，经足够长时间后h(t)仍在继续增长，系统是不稳定的。
    (3)临界情况 若H(s)的极点落于s的平面虚轴上．且只有一阶，则经足够长时间后，h(t)趋于一个非零的数值或等幅振荡，而处于上述两种类型的临界情况，与(2)一起列为不稳定系统。
    在此，以图1所示控制系统为例，说明如何利用H(s)在s平面的极点分布来讨论该系统中当K从0增长时系统稳定性的变化。求得极点位置为：

    当K=0，pl=一2，p2=+l时，有一个极点在右半平面；当K=2，pl=一l，p2=0时，有一个极点在虚轴上；当K=9／4．pl=p2—1／2时，极点都位于左半平面上。事实上，当K>2时，计算出极点或极点的实部都位于左半平面，即K>9／4有共轭复数。因此．K>2的系统稳定，K≤系统不稳定。K增长时，极点在s平面的移动过程如图2所示。

3．2 劳斯判据
    设系统函数为H(s)，则系统稳定的必要条件是H(s)的分母多项式，即：

   
    式(6)的全部系数非零且均为正实数。对三阶系统．其充要条件是D(s)的各项系数全为正，且满足a1a2-a0a3>0
3．3 BIBO稳定性判据
    BIBO判据指用BIBO稳定性来判断。在讨论时域充要条件时，并未涉及系统的因果性，这表明无论因果稳定系统或非因果稳定系统只要满足式(5)的条件，都可判断这些系统是稳定的。然而对因果系统，式(5)可改写为：

   
    对于因果系统，从BIBO稳定性定义考虑与考察H(s)极点分布来判断稳定性具有统一结果。当H(s)极点位于左半平面时，h(t)绝对可积，系统稳定；当H(s)绝对位于右半平面或在虚轴具有二阶以上极点时，h(t)不满足绝对可积条件。系统不稳定。当H(s)极点位于虚轴且只有一阶时称为临界稳定系统，则h(t)处于不满足绝对可积的临界状况，从BIBO判据来看，这种情况仍属于不稳定范围。

4 结语
    任何系统要能正常工作，都必须以系统稳定为先决条件．所以判断系统的稳定与否十分重要，它能指导系统设计合理地选择元件参数。