推荐|一文详解FOC坐标变换

• 1 前言

• 2 自然坐标系ABC

• 3 坐标系

• 3.1 Clarke变换

• 3.2 Clarke反变换

• 4 坐标系

• 4.1 Park变换

• 4.2 Park反变换

• 5 程序实现

• 附件

1 前言

永磁同步电机是复杂的非线性系统，为了简化其数学模型，实现控制上的解耦，需要建立相应的坐标系变换，即Clark变换和Park变换。

2 自然坐标系ABC

三相永磁同步电机的驱动电路如下图所示；根据图示电路可以发现在三相永磁同步电机的驱动电路中，三相逆变输出的三相电压为 ， ， 将作用于电机，那么在三相平面静止坐标系ABC中，电压方程满足以下公式：

为电角度 为相电压基波峰值

所以根据上述公式可以发现，三相电压的大小是随时间变化的正弦波形，相位依次相差120°，具体如下图所示；

3 坐标系

由静止三相坐标系 变换到静止坐标系 的过程称之为Clarke变换；在 静止坐标系中， 轴和 轴的相位差为90°，且 的大小是随时间变化的正弦波形，具体如下图所示；从自然坐标系 变换到静止坐标系 ，满足以下条件：

其中 为变换矩阵：

注意： 为系数，做等幅值变换和等功率变换 系数不同；
等幅值变换
等功率变换 下面均为等幅值变换

3.1 Clarke变换

三相电流 分别为 ， ， ，根据基尔霍夫电流定律满足以下公式：

静止坐标系 ， 轴的电流分量为 ， ，则Clark变换满足以下公式：

在matlab的simulink仿真如下图所示；最终得到三相电流 ， ， 的仿真结果如下；

得到 坐标的 和 的仿真结果如下图所示；

由上述两张图分析可以得到，等幅值Clark变换前后峰值不变， 坐标系中 和 相位相差90°。

3.2 Clarke反变换

Clarke反变换的simulink仿真如下图所示；

4 坐标系

坐标系相对与定子来说是旋转的坐标系，转速的角速度和转子旋转的角速度相同，所以，相当于转子来说， 坐标系就是静止的坐标系；而 和 则是恒定不变的两个值，具体如下图所示；根据物理结构，我们发现； 轴方向与转子磁链方向重合，又叫直轴； 轴方向与转子磁链方向垂直，又叫交轴； 轴和 如下图所示；

4.1 Park变换

Park变换的本质是静止坐标系 乘以一个旋转矩阵，从而得到 坐标系，其中满足以下条件：

其中 为旋转矩阵，所以，park变换和park反变换其根本就是旋转矩阵不同， 可以表示为：

含义为   ==> 2轴定子坐标系转换到2轴转子坐标系

由上式可以得到：

其中simulink仿真如下图所示；作为输入的 和 ，仿真波形如下图所示；

最终经过Park变换得到 和 如下图所示；

可以看到， 和 是恒定值，所以Park变换也叫做交直变换，由输入的交流量，最终变换到相对与转子坐标的直流量。

在实际写FOC的过程中对于这块变换产生了一个疑问；这里再区分一下正转和反转的情况，以此来说明一下Id和Iq的实际中的作用；下面先规定一个方向为反转；

正转

通常，大部分书籍以及论文中的正转输入的三相波形如下：

反转

4.2 Park反变换

Park反变换又叫直交变换，由 轴的直流量，最终变换到 的交流量，其中满足变换条件如下：

其中 为Park变换的逆矩阵，所以，存在条件：

最终由上式可以得到：

5 程序实现

坐标变换的C程序主要基于TI的IQMATH库进行实现，详情已经提交到附件。如何使用这个库可以参考《STM32 使用IQmath实现SVPWM》

附件

链接：https://pan.baidu.com/s/1s2qU5wA2LMSmed51q-Jayw 提取码：irm2

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