滤波器长度对滤波结果的影响研究

引 言

经典数字滤波器即 FIR 滤波器和 IIR 滤波器在很多领域中都发挥着重要的作用，在不要求实时处理时，常常使用Matlab 软件设计滤波器并对信号进行滤波。重力数据和重力梯度数据的滤波就是采集后在PC 机上进行处理的。FIR 滤波器具有线性相位，且系统总是稳定的，但是滤波器阶数比较高； IIR 滤波器阶数比较低，但是不具有线性相位，且系统有可能不稳定。不过，在Matlab 软件中，可以通过零相位滤波解决IIR 滤波器非线性相位的问题。重力数据需要低通滤波，重力梯度数据需要带通滤波，对于FIR 滤波器和IIR 滤波器，选择哪一个进行滤波，滤波器长度对滤波结果的影响，滤波器稳定性的验证等问题都值得进行研究。

1 FIR滤波器

FIR 滤波器具有线性相位，且系统总是稳定的，但是滤波器的阶数比较高。而对于有限长度信号的滤波，滤波器的长度对滤波结果的影响是值得关注的问题。

2 FRR 和 RRF

在数字信号处理中，为了不产生相位失真，通常要求滤波器具有零相位。当滤波器是零相位时，输出与输入将不存在移位，即输入和输出数据在时间上能一一对应起来，只存在增益上的差别，我们称此时的滤波器为零相位数字滤波器 [1,2]。实现零相位数字滤波可以采用 FRR 或RRF 方法。FRR 滤波是先将输入序列按顺序滤波（forward filter），然后将所得结果翻转后通过滤波器（ reverse filter），再将所得结果翻转后输出（ reverse output），即得相位不变的输出序列。类似的， RRF 滤波是先将输入信号序列翻转后通过滤波器（ reverse filter）， 然后将所得结果翻转后再次通过滤波器（ reverse filter），这样所得结果（forward output ）即为精确零相位失真的输出序列。

3 低通滤波

用窗函数法设计低通滤波器，通带截止频率为 3 Hz，阻带截止频率为 5 Hz，采样频率为 100 Hz。用该滤波器分别对直流信号 x1=ones（1，512）和低频信号 x2=0.2*sin（2*pi*2*t）进行滤波，滤波分别采用以上提到的几种方法。对 x1 用几种方法进行滤波，滤波结果如图 1 所示，为了方便比较，几种方法的滤波结果在幅值上做了改动，从图中可以看出只有函数filtfilt 得到的滤波结果和原信号是一样的。其他几种方法在两端都或多或少有无效数据产生。

几种方法对直流信号滤波后的频谱如图 2所示，将其中零频率上面部分频谱放大得到图 3所示的放大波形，可以看出filter、FRR和 RRF方法得到的频谱相近，conv和filtfilt 方法得到的频谱与原信号频谱相近。从图 3中还可以看出filter、FRR和 RRF 方法得到的信号频谱在零频率处有明显的衰减，大约在 430左右，而原信号在零频率处幅值大约为512。图 2中幅值较低，且接近零频率处的频谱放大可得到图4，从中也可看出，filter、FRR 和RRF 方法得到的频谱相近，conv 和filtfilt 方法得到的频谱与原信号频谱相近。将图 2 中的频谱整体适当放大，可以清晰的看出几种方法相互接近的趋势，如图 5 所示。从时域和频域对比几种滤波方法，可以看出最好的滤波方法是使用filtfilt 函数。

对 x2 用几种方法进行滤波，滤波结果如图 6 所示，为了方便比较，几种方法的滤波结果在幅值上做了改动，从图中可以看出，也只有函数 filtfilt 得到的滤波结果和原信号是一样的。其他几种方法在两端也都或多或少有无效数据产生。

几种方法对 x2 滤波后的频谱如图 7 所示，将其中 2 Hz频率处上面部分频谱放大可得到图 8 的结果，可以看出filter、FRR 和 RRF 方法得到的频谱相近，conv 和filtfilt 方法得到的频谱与原信号频谱相近。从图 8 中还可以看出，filter、FRR 和RRF 方法得到的信号频谱在 2 Hz 处有明显的衰减，大约为 42，而原信号在零频率处幅值大约为 51。将图 7 中的频谱整体适当放大，可以清晰的看出几种方法相互接近的趋势， 如图 9 所示。从时域和频域对比几种滤波方法，可以看出，最好的滤波方法是使用filtfilt 函数。对直流信号和正弦信号进行低通滤波，得到的结论相同，即使用filtfilt 函数最好。

4 带通滤波 

用窗函数法设计带通滤波器，该滤波器通带截止频率为 [10 20]Hz，阻带截止频率为 [5 25]Hz，采样频率为 100 Hz。 用该滤波器对信号 x=0.2*sin（2*pi*15*t）进行滤波，滤波分 别采用 filter、conv、filtfilt、FRR 和 RRF 方法，滤波结果如 图 10 所示，可以看出，filtfilt 滤波后的信号最接近原信号。 滤波后信号的频谱如图 11 所示，将其进行放大，如图 12 所示， 可以看出与低通滤波的情况相似，filter、FRR 和 RRF 方法 得到的频谱相近，conv 和 filtfilt 方法得到的频谱与原信号频 谱相近。经过时域和频域的比较，得出带通滤波同样是 filtfilt 函数最好。

5 结 语

非实时数字滤波在很多应用领域中都会用到，例如在电 网行波数据处理中的应用 [3]、在形貌恢复中的应用 [4]、在心电 信号处理中的应用 [5] 等。为了使滤波后信号不发生畸变，而 且方便对比输出信号和输入信号，零相位滤波受到大家的青 睐，大家都讲零相位滤波，大多是 FRR 的原理。有的是按照 FRR 的步骤来滤波，有的其实是用 filtfilt。通过本文的仿真 研究，可以看出，FRR 并不等同于 filtfilt，而且 filtfilt 的效果 比 FRR 或者 RRF 都要好。