阻抗和导纳的关系

我尽可能把事情说的通俗一些，所以内容并不会非常严谨。而且这个领域的术语很乱，Impedance control, stiffness control, admittance control, compliance control等等词汇在不同作者手中都有好多不同的意思。所以我只能保证用词尽可能自洽，阅读时请勿硬套名词。

讨论实现方法以前一定要先搞清楚动机和目的。因为实践中经常要做出各种妥协和Hack，如果目的不明确，很容易干出削足适履、南辕北辙的事情来。下面我先讨论动机，然后抽象出一个控制目标，最后再说实现方式。

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1. 完美定位是不够的

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机器人最传统、最常用的控制方式就是位置控制了。这里无需讨论任何实现细节，只需设想一个完美的位置控制机器人：它能够以0误差来到达指定的位置，或以0误差跟随指定的轨迹。

这样的机器人看起来叼炸天，然而考虑一个简单的任务——开门。

假设这个门是一个理想门：门板围着固定轴转动，门板末端的轨迹是一个完美的圆弧。门板重量为0，摩擦力为0，弹性为0。机器人紧紧地抓住门板的末端。

很明显，由于门板没有重量也没有摩擦，机器人甚至 无需对门施加任何力，只要沿着图中的圆弧运动，就可以把门打开。当一个完美的机器人，遇到一个完美的门，so simple! what could possibly go wrong?

然而，实践中机器人和门的相对位置几乎不可能极为精确的确定，如下图所示。机器人的实际路线与理想的圆弧会有微小的误差。

但是门的末端不可能偏离圆弧运动，而机器人末端又紧紧的抓住了门。。。于是， 要么门被拽掉，要么机器臂被扯断。不给力啊老师!

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2.柔性是环境互动的好朋友

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前述完美机器人解决不了的事情，一根破弹簧就能搞定。。。如下图，让机器人通过一个弹簧和门相连。可以想象，机器人开门时，误差只会导致弹簧伸长，不会把门扯掉了。当然还需要一点摩擦力来避免弹簧无限振荡。)

再举一例，让前述完美定位机器人 用无限硬的刀在无限硬的桌子上切薄纸也很难：因为一点点误差就会导致要么切不到纸，要么把刀弄折，要么把桌子切坏。但是用厚海绵擦桌子就很容易：误差只会导致海绵变形一点而已。从这些例子中可以看出， 当机器人和外物有直接接触时，一定的柔性是你的好朋友。It’s all about interaction.

*注意下面的方法不是显式力控制(Explicit Force Control). 显式力控制是另外好大一滩事，另说吧。

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3.系统控制目标

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但是机器人不能总是有弹簧相助，而且弹簧的刚度(stiffness)不能按需调节，也很难做到各向异性(在不同方向上有不同的刚度)。所以希望能用控制算法让机器臂表现出想要的柔性。也就是下图中虚线框中的系统，实际上是由控制算法实现的。

最简单的有弹性、而且不会永久震荡的系统就是Mass-Spring-Damper了。所以不妨把目标定为：让机器人表现出和下面这样二阶系统相同的性质。

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4.实现目标的不同路线

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用公式描述一下这个系统的表现：

注意，这个公式有两种解读方式：

其实这就是胡克定律F = kx的两种解读：既可以说弹簧是因为形变而产生力，也可以说弹簧是因为产生力(注意这里不是外力，是弹簧自己产生的力)而形变。后一种解读可能直观上感觉有点奇怪，但数学上两种说法没有对错之分。毕竟胡克定律只是确定了F和x间的线性关系，并没有因果上的意义。

两种解读方式，分别对应两种实现方法:

1. 测量当前位置和目标位置的差，调整末端产生的力(一般通过调整各关节力矩实现)。这种通常称为impedance control或stiffness control.

2. 测量末端受到的力，调整末端的速度。这种常称为admittance control.

(下面一段烧脑预警)

在第一种方法中，可以认为机器人本身是一个Admittance(输入是力矩，输出是运动)，而控制器是一个Impedance(输入是位置，输出是力矩)。在第二种方法中，机器人本身是Impedance (输入是速度，输出是对外的力)，而控制器是Admittance(输入是外力，输出是运动)。其实这是必然的，因为admittance和impedance需要相间出现。

两种方法各有利弊。

第一种方法与环境接触时稳定性好，但是无接触时对位置实际上是开环的，因此对于建模的要求比较高。如果建模误差大，则位置的精度会受影响。

第二种方法无接触时位置精度比较高，但是当机器人本身刚性很大又与刚性环境接触时，系统容易不稳定。

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5.其他选择

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此外，上面提到的Mass–Spring-Damper系统中有M, b, k三个参数。一般而言，k对任务的影响很大，因此绝大多数柔顺控制的算法都可以调节k，而且一般可为不同的方向设定不同的k值。而M则不同：对于轻型机器臂来说，M在奇异点以外的地方一般不会太大，而且对大部分任务来说也并不本质。因此大部分实现中M是不能调节的(without inertia shaping)。

上面提到的都是在笛卡尔空间中的柔顺控制，当然柔顺控制也可以定义在关节空间。

一些机器人每个关节上都装备有力矩传感器(如iiwa)，或使用电流来估计电机上带的力矩。在这些情况下，可以直接实现关节空间的柔顺控制。而且外力可以直接作用在机器臂上，而不仅仅限制在末端上。这在拖动示教时很方便，特别是对于7轴冗余机器人(否则肘部不容易控制)。

因为上述方法不属于Explicit Force Control，所以并不能直接调整对外界环境施加的力。例如在前述刀切纸的例子里，如果用Impedance control而且希望精确控制刀对纸面施加的力，那么需要在impedance control外面再套一层环，通过调节平衡点(可以理解为弹簧的0力点)的位置来控制力的大小。

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6. 总结

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总之，柔顺控制根据测量量、反馈量、可调节参数、定义空间等等不同，有很多很多的实现方式。具体选用哪个要根据需求和硬件调节决定。但万变不离其宗，柔顺控制就是让机器人能够跟环境和人更平顺的交互。