Logistic-Map混沌序列的单片机实现

　　摘 要： 混沌序列的产生是混沌理论应用于保密通信领域的一个重要问题。通过对Logistic映射进行变换处理，利用整数运算代替小数运算，使程序便于在MCS-51系列单片机平台上运行，由此产生Logistic-Map混沌序列。
关键词： 混沌序列；Logistic-Map；单片机

　　混沌及其应用是近年来非线性科学研究领域的一个热点课题。自Pecora和Carroll提出了混沌同步概念，使混沌应用于保密通信技术领域成为可能。但要进行有效的混沌通信，首先必须产生稳定的混沌序列信号。
混沌序列信号发生器最初是利用分立模拟电子元件来实现的，这种方法能有效地产生混沌信号，但降低了集成度，增大了体积，且在通信应用时，因为元件参数较大的离散性，容易造成收发系统之间的电路参数失配。相比而言，用数字元件实现，能简化系统并提高抗干扰能力，例如，在DSP和FPGA等数字平台上产生混沌序列，是一种较为有效的方法。
对于产生形式简单并且应用广泛的Logistic-Map混沌序列[1]信号，可在速度较慢、资源有限的51系列单片机硬件平台[2]上实现。由于Logistic映射中产生的迭代数据全是小数，而单片机处理浮点数的能力较差，故需对Logistic-Map方程进行映射变换，以便于在单片机上运行实现。
1 Logistic方程的变换处理
Logistic方程是目前应用较为广泛的一种混沌映射，其迭代方程的数学表达式为

由于单片机并不适合于处理小数，故为了方便于单片机的运行处理，系数尽可能地选择整数，这里选取参数μ=4，其时域仿真波形如图3所示。

Logistic方程中，x(n)的值均为0～1之间的小数，而x(n)值的精确度对系统是否处于混沌状态有一定的影响，精度过低会将混沌系统强制性带出混沌。理论上，x(n)值的精确度越大越好，但实际上不可能选取无穷精度。在Matlab仿真时，软件采用双精度浮点的形式进行数值运算。
考虑到单片机处理浮点数的能力较差，通过线性映射：
　　

　　将x(n)∈(0，1)的值映射到X(n)∈(0，65 536)的区间上，而这属于一个无符号整型变量的表数范围。通过该映射，就能在保证变换前的数值精确到小数点后4位的情况下，用无符号整型变量代替双精度浮点型变量的运算，并且能在一定程度上反映小数点后第5位的情况。
　　经过映射变换后的Logistic映射方程变为：
　　
　　式中X(n)∈(0，65 536)。数值仿真结果如图4所示。由此可知，变换只改变了x(n)值的幅度，并没有改变系统的性质。

2 硬件设计
在硬件设计中，选用了51系列中的增强型单片机AT89S52。这款单片机内置了8 KB的Flash，8个256 bit的片内RAM，对于存储程序和临时数据值有足够的空间，因此可采用单片工作模式，不需扩展外围存储器。
图5为Logistic混沌信号发生器的硬件电路图。单片机的P1.6、P1.7分别输出转换控制信号和控制时钟信号；P1.4、P1.5则将Logistic方程的迭代结果串行地送入数模转换器。

要较好地将单片机计算结果还原成模拟信号并在示波器上显示出来，对D/A转换器的精度有一定的要求[5]。数模转换器的精度过低，会使许多不同的计算结果被转换为相同的模拟电压值，导致波形质量的严重下降。这里选用了廉价高速的12位精度数模转换器MAX538[2，6]。这款D/A转换器是电压输出型，串行输入方式，由单5 V电源供电。它采用菊花链结构，1次接收16位的数据，其中只有低12位有效，而高四位只在构成菊花链时使用。图6为MAX538的时序图，当转换控制信号为高电平时，D/A转换器不接收新值，而将数字信号转换成模拟信号，输出的模拟信号电压值：
　　

　　式中，V_REF为基准电压，取为2.5 V；当其为低点平时，每来1个控制时钟脉冲就读入1位值。

3 软件流程设计
根据(3)式可知，程序中涉及到了减法、乘法和除法运算。在单片机指令系统中，这3种运算指令均为多周期指令，会占用较多的运行时间，尤其是除法运算。相对而言，赋值指令、移位指令与逻辑运算指令则较为快速，因此，在保证准确性的前提下，可用移位运算代替乘、除运算[7]。
在设计程序时，利用循环迭代，使单片机不断地计算出Logistic方程的当前值。程序流程图如图7所示。在整个循环体内，通过以下几个步骤完成1次迭代运算：

(1)将公式(3)中的减法运算[65536－X(n)]用“异或”运算[X(n)⊕0xFFFF]代替，所得值送入变量y所指向的存储空间；
(2)将y的值与x相乘，实现[X(n)[65536－X(n)]]，而这个乘法运算的结果是一个32位的值，因此赋予长整型变量M32；
(3)乘法运算结果要除以65 536，该值是2的16次方(65 536=216)，故可通过将M32的值右移16位来替换除法运算；
(4)在单片机指令系统中，除法运算的结果是个16位的值，但移位运算并不会改变变量的数据类型，故仍为32位的数据。所以，要令M32和0xFFFF相“与”，取出M32的低16位值存入与整型变量相对应的存储空间；
(5)用y的值左移2位替代乘以系数μ=4的运算，计算出Logistic方程的当前值；
(6)将计算结果送入数模转换器。
数模转换芯片MAX538是串行输入的，上述步骤计算的结果是一个整型数值，不能1次送入D/A芯片，要将数值按权位的高低逐个取出并传送。并且MAX538是12位的D/A芯片，只有低12数据有效。计算结果的16位数据中，对信号幅度影响较大的是高12位数据，故要将x(n)的值右移4位，将高4位无效位清零，而把有效值保存在低12位。根据MAX538的信号时序，可得如图8所示的流程图。

混沌系统方程中，均为小数形式的运算，增加了产生混沌信号时的硬件复杂程度。因此，通过对Logistic方程进行线性变换，采用整数运算替代浮点数运算，可以在保证一定数值精度的情况下，提高程序的运行速度，为利用51系列单片机产生混沌序列信号提供了一种实际可行的实现方法。

参考文献
[1] 吕金虎，陆君安，陈士华．混沌时间序列分析及其应用[M]．武汉：武汉大学出版社，2002.
[2] 李群芳，张士军，黄健．单片微型计算机与接口技术(第2版)[M]．北京：电子工业出版社，2005.
[3] 赵艳红，张春，吴楚．扩频通信中数字混沌序列的产生[J]．信息工程大学学报，2000(3)：40-43.
[4] 刘文波．Logistic映射的电路实现及应用[J]．数据采集与处理，2001(1)：129-132.
[5] 赵耿，郑德玲，董冀媛．Logistic映射数字混沌产生器[J]．北京科技大学学报，2001(2)：173-176.
[6] 王福瑞．单片微机测控系统设计大全[M]．北京：北京航空航天大学出版社，1998.
[7] 唐秋玲，覃团发，姚海涛，等．数字语音混沌保密通信系统及硬件实现[J]．电子技术应用，2000(2)：58-60.