单片机浮点数的实用快速降法

;;; 摘要：介绍一种在8096/96系列单片机上实现的单精度浮点数快速除法。该算法采用了预估一修正的数值计算方法，并充分利用了16位CPU中的乘除法指令，计算速度快、精度高，有很强的实用性。 ;;; 关键词：浮点数 除法 尾数 预估-修正 误差 精度 在较为复杂的单片机系统中，为扩大取值范围，实现复杂的计算和控制，一般都要涉及浮点数的运算。而一般单片机是没有浮点数运算指令的，必须自行编制相应软件。在进行除法计算时，通常使用的方法是比较除法[1],即利用循环移位和减法操作来得到24～32位商，效率很低。有些文献给出了一些改进方法[2]，但思想不清晰，很难推广使用。这里给出一种浮点数除法运算的实用快速算法。该方法以数值计算中的预估-修正方法为指导，充分利用了16位单片机的乘除法功能，很轻易地实现了浮点数的除法。 1 浮点数格式 IEEE的浮点数标准规定了单精度（4字节）、双精度（8字节）和扩展精度（10字节）三种浮点数的格式。最常用的是单精度浮点数，格式如图1所示。但是这种格式的阶码不在同一个字节单元内，不易寻址，从而会影响运算速度。 通常在单片机上采用的是一种变形格式的浮点数，如图2所示。其中的23位尾数加上隐含的最高位1，构成一个定点原码小数，即尾数为小于1大于等于0.5的小数。有关浮点数格式的详细内容请参考有关文献[1][2]。 2 快速除法的算法原理 在16位单片机中只有16位的乘除法，而浮点数的精度（即尾数的有效位数）达24位，因此无法直接相除，但依然可以利用16位的乘除法指令来实现24位除法。不过，如果只进行一次16位的除法必定会带来很大误差，因此问题的关键在于如何消除这个误差，从而达到要求的精度。这其实就是通常数值计算中所采用的预估-修正方法。 假设两个浮点数经过预处理后，被除数和除数尾数扩展为32位（末8位为0）分别放入X和Y中。邻YL为Y的低16位，并记YH=Y-YL。显然YH≈Y，X/Y与Y/YH相差不多： （X/Y）/（X/YH）=(YH/Y) =YH/(YH+YL) =1/(1+YL/YH) ≈1-YL/YH =(YH-YL)/YL 可见只需要在X/YH的基础上再乘以一个修正因子（YH-YL）/YH，就可以得到X/Y的一次校准值。不难证明这个值已经达到了24位的精度要求。事实上，相对误差满足：

;;; 这说明这个一次校准值完全可以作为最终的结果。 3 算法的具体实现 在具体实现本算法时，主要经过下列步骤： （1）计算预估值Q0=X/YH； （2）计算修正因子Q1=(YH-YL)/YH; （3）计算校准值Q=Q0×Q1，并作为最后结果。 这里的YH虽仍是32