ECC纠错算法

汉明码实现原理

汉明码（Hamming Code）是广泛用于内存纠错的编码。汉明码不仅可检错，还可纠错。（只能发现和纠正一位错误，对于两位或者两位以上的错误无法纠正）。

我们约定一串编码里1的个数是偶数个，那么这串编码里携带的信息就是对的，否则就是错的。我们可以在开头对这串编码加一位校验码实现奇偶校验。比如：

我们想传输10010这串码，那么在传输的时候，就传010010，其中在开头的0就是校验位。

我们想传输10000这串码，那么在传输的时候，就传110000，其中在开头的1就是校验位。

两个例子的1的个数都是偶数。

首先汉明码是采用奇偶校验的码。它采用了一种非常巧妙的方式，把这串数字分了组，通过分组校验来确定哪一位出现了错误。

比如上图，数据分成3组，P1组中有一个错了，P2组没错，P3组没错。

P2组里谁都没错，可以排除2,4,5,7这几个数据；

P3组里谁都没错，可以排除3,4,6,7这几个数据；

很容易知道，是1这个数据有了错误。

因此，我们按照位置来分组，同时可以知道具体哪个位置数据比特错误，按照位置，

凡是位置符合这种形式的，XXX1，归到P1；

凡是位置符合这种形式的，XX1X，归到P2；

凡是位置符合这种形式的，X1XX，归到P3；

凡是位置符合这种形式的，1XXX，归到P4；

位置在1,3,5,7,9,11的数据进到P1组。

位置在2,3,6,7,10,11的数据进到P2组。

位置在4,5,6,7的数据进到P3组。

位置在8,9,10,11的数据进到P4组。

那么确定了分组，校验码的值也就顺便确定下来了。这样整个串的码就确定下来了。

那么显然各个校验码也被分到各个组里面去了，而且，每个组只有一个校验码。（这个，太简单我就不解释了……）

设将要进行检测的二进制代码为n位，为使其具有纠错能力，需要再加上k位的检测位，组成n k位的代码。那么，新增加的检测位数k应满足：

汉明码的编码规则如下：

1.1.1        校验码的位置

这是规定，记住它，在采用汉明码的一串数据中，2的i次方的位置上，我们放校验码。

校验码是1，或者是0，使得校验码所在的组的1的个数是偶数。

如图：

绿色的位置是放校验码的地方，1,2,4,8,16……等等，2的i次方的地方。

1.1.2        汉明码编码实例

以10101编码为例，创建一个汉明码编码的空间，并且把源码填入编码的对应位置中，_ _ 1_010_1，并留出校验码位(校验位先设为0)。(因为2^4 - 1>= 5 4 满足，而 2^3-1>= 5 3所以需要4位校验码)

• 计算校验码第1位，1,3,5,7,9异或为0，所以汉明码第2^(1-1)位为0，结果为：0_1_010_1

  
  

• 计算校验码第2位，2,3,6,7异或为0，所以汉明码第2^(2-1)位为0，结果为：001_010_1

  
  

• 计算校验码第3位，4,5,6,7异或为1，所以汉明码第2^(3-1)位为1，结果为：0011010_ 1

  
  

• 计算校验码第4位，8, 9异或为1，所以汉明码第2^(4-1)位为1，结果为：001101011

  
  

  所以最终编码为001101011.

  
  

  
  

1.1.3        汉明码校验错误实例

假设收到编码为001101001，我们可以发现汉明码的第8位与原来的汉明码001101011不同，那我们怎么找出这个第8位的错误编码呢？

算法很简单，我们只要在算汉明码校验位的算法的上再算一遍，就得到了汉明码的校验方法，比如计算001101001对应的2^k位。

1,3,5,7,9进行异或，得到0

2,3,6,7进行异或，得到0

4,5,6,7进行异或，得到0

8,9进行异或，得到1

我们把上述结果反着排列，得到1000，即十进制的8，根据汉明码的校验规则，编码出错的地方即在第8位，我们把第8位的0换成1，即可得原来的编码001101011。

上述的例子是出现在2k的校验位上的，如果出现在非2k位上，得到的结果也是一样的，比如：假设收到的编码为001100011，即第6位出了错误，我们根据规则

1,3,5,7,9进行异或，得到0

2,3,6,7进行异或，得到1

4,5,6,7进行异或，得到1

8,9进行异或，得到0

我们把上述结果反着排列，得到0110，即十进制的6，根据汉明码的校验规则，编码出错的地方即在第6位，我们把第6位的0换成1，即可得原来的编码001101011。

参考链接：

汉明码（Hamming Code）原理及实现

https://blog.csdn.net/qq_38526635/article/details/82842383

说人话，汉明码（海明码、hamming code）通俗易懂的解释，说人话

https://blog.csdn.net/Yonggie/article/details/83186280