基于Wei buII分布的电磁继电器可靠性评估与分析

0引言

继电器作为一种基本的电气控制器件，承担着电路调节、电路保护、电路转换等重要功能，其运行可靠性直接影响系统的安全可靠运行^[1]。受温度、有机污染物、湿度等因素影响，电磁继电器属于易老化失效的电气元件之一^[2] 。其中，高温会加速线圈老化，并使触点材料发生氧化，对电磁继电器的老化失效影响较为显著^[3]。因此，科学评估电磁继电器在给定温度下的可靠性，尤其是高温极端环境下的寿命分布，可以合理制定电磁继电器的更换周期以进行预见性维修，保障系统的安全稳定运行。

在可靠性理论中，通过对大量故障数据的统计分析发现，故障率随时间的变化曲线类似于“浴盆”形状，具有三个明显的周期，按照时间顺序分别为早期故障期、偶然故障期与耗损故障期。可靠性评估即利用数理统计的方法将故障率与设备运行时间建立合适有效的统计分布模型。常用的概率统计分布模型主要有指数分布、weibull分布、正态分布、对数正态分布、伽玛分布等^[4—6]。其中，指数分布只能用来描述偶然故障期的故障分布，无法描述早期故障期与耗损故障期;正态分布只能用来描述耗损故障期的故障分布，无法描述早期故障期与偶然故障期;对数正态分布只能用来描述早期故障期与耗损故障期的故障分布，并且其故障率分布曲线不是单调的，使用对数正态分布时还需进一步限定其定义域。因此，能对完整寿命周期故障分布进行建模的概率统计分布模型只有weibull分布模型与伽玛分布模型。然而，由于伽玛分布模型对应的累积分布函数没有形成简单的封闭表达式，无法得到解析解，所以weibull分布模型被广泛应用于可靠性评估与分析中^[7]。

针对电磁继电器在高温极端环境下的可靠性评估，通过加速寿命试验获取电磁继电器在极端环境温度120℃下的故障样本数据，应用weibull分布模型对其进行可靠性建模，并分别使用wPP法、最小二乘法与极大似然估计法估计weibull分布模型参数，进而得出最优weibull分布模型评估电磁继电器的可靠性。研究结果可以为电磁继电器在复杂运行环境下的可靠性分析与寿命预测提供理论依据。

1weibuII分布模型及其参数估计

1.1 weibuII分布模型

两参数型weibull分布模型具有形状参数β与尺度参数η，分别决定了weibull分布的形状与离散程度，根据可靠性理论，其对应的4项可靠性指标函数分别如下^[8—10]:

故障概率密度函数:

累积故障概率函数:

可靠性函数:

故障率函数:

故障率随时间的变化曲线称为“经典浴盆曲线”,如图1所示,设备的使用寿命将分别历经三个阶段:早期故障期、偶然故障期与耗损故障期。

在weibull分布模型中,β为形状参数,决定了故障率分布曲线的形状。当β<1时,可用于描述浴盆曲线中的早期故障期,该时期明显的特点是初始故障率较高,随着设备投入运行,故障率呈指数型迅速下降,并趋于稳定。当β=1时,可用于描述浴盆曲线中的偶然故障期,该时期的明显特点是故障率几乎不发生变化,稳定在一个常数值附近。当β>1时,可用于描述浴盆曲线中的耗损故障期,该时期的明显特点是故障率迅速升高,并呈指数型增长模式。因此,通过形状参数的取值变化,两参数型weibull分布模型可以用来描述浴盆曲线的任意一个故障周期,被广泛应用于可靠性评估与分析。

1.2 weibuII分布模型的参数估计方法

weibull分布模型的参数估计方法主要可分为两类,分别为图形法与解析法。其中,图形法又称为WPP(weibull Probability Paper)法,即利用weibull概率纸图进行参数的近似估计;常用的解析法主要包括最小二乘法与极大似然估计法。

1.2.1wPP法

假设t={t1,t2,t3,… ,tn}为一个完整寿命试验故障样本,则累积故障概率F(t)可通过中位秩模型进行近似估计:

式中:ti为故障退出时间;i表示故障退出的次序;n表示参与寿命试验的样本量。

根据式(3)可得到如下关系:

然后,对式(6)两边同时取两次对数,可得:

并对式(7)进行如下变换:

则式(7)将进一步简化为:

上述变换过程称为“weibull变换”。代入故障样本数据序列t={t1,t2,t3,…,tn},可获取一组(xi,yi)数据序列:

最后,在(x,y)坐标系下分别绘制(xi,yi)散点图,将得到一条斜率为β且截距为ln η的直线L,进而可通过散点图的图形估计weibull分布模型的形状参数β与尺度参数η。经weibull变换后的(xi,yi)散点图,又称为weibull概率纸图,这种参数估计方法简称为WPP法。

1.2.2最小二乘法

故障样本t={t1,t2,t3,… ,tn}经weibull变换后可得线性方程,然后进一步定义线性方程的残差平方和:

最小二乘法的实施原理就是寻找最优解(β^,η^),能够使残差平方和Q的值达到最小。因此,为了获取Q的最小值,分别对式(11)求偏导数,可得:

然后,将式(11)代入式(12),经整理可得:

求得的最优解(β^,η^),即weibull分布模型的最小二乘参数解。

1.2.3极大似然估计法

极大似然估计法的原理是构造似然函数进行参数估计。假设f(xi;θ1,θ2,θ3,… ,θm)为随机变量X的概率密度函数,则可以利用X的独立观测值来构造如下所示的似然函数:

式中:θ1,θ2,θ3,… ,θm分别表示f(xi;θ1,θ2,θ3,… ,θm)的m个待估计参数;n为独立观测值的个数。

极大似然估计法的实施原理就是寻找θ^使L(θ)的值达到最大。由于lnL(θ)为L(θ)的增函数,当θ^使L(θ)达到最大值时,lnL(θ)也会达到最大值。因此,对lnL(θ)求导并使其值为0,从而可以得到似然函数的求解方程式:

在完整寿命试验中,假设故障时间t服从weibull分布,t={t1,t2,t3,…,tn}为来自于完整寿命试验的n个独立样本,f{ti;η,β}为随机变量t的故障概率密度函数,则其对应的似然函数为:

然后,对似然函数L(η,β)的两边分别取对数,可得:

对lnL(η,β)分别求偏导,可得:

然后,求解式(18)与式(19),可得:

式(20)中β的求解方程属于超越方程,需要基于迭代计算的方式估计形状参数β的数值解,从而得到weibull分布模型的极大似然估计解。

2 电磁继电器可靠性评估与分析

2.1加速寿命试验

选取某型号电磁继电器共10台,其正常工作环境温度约为25℃,极限温度为150℃以上,将环境温度设置为120℃进行加速寿命试验,得到一组完整的故障样本数据^[3],具体如表1所示。

2.2weibuII分布模型参数估计与对比

对电磁继电器的故障样本数据建立weibull分布模型,然后分别使用WPP法、最小二乘法与极大似然估计法进行参数估计,得到的参数估计结果如表2所示。

三种方法估计的形状参数均显示β>1,加速寿命试验中的电磁继电器明显处于耗损故障期,主要是因为在加速寿命试验中,环境温度被设置为120 ℃ ,明显高于设备的正常工作温度25℃,必然会加速电磁继电器的故障老化速度,使电磁继电器加速老化,直接进入了耗损故障期。

然后,将WPP法、最小二乘法与极大似然估计法估计的累积故障概率分布曲线与观测样本的经验分布进行对比,结果如图2所示。从图2中可以看到,基于最小二乘法与极大似然估计法估计的累积故障概率理论分布与经验分布均能够较好地拟合,而WPP法拟合精度较差,主要是因为WPP法绘制拟合直线时易受人为等主观因素影响,且读取坐标轴交点坐标与斜率时存在读数误差,这种误差在进行参数估计时又将被继续放大,进而导致参数估计结果存在精度低、不稳定等问题。

通过上述建模结果的对比与分析发现,应用weibull分布模型进行可靠性评估与分析,应当优先选用最小二乘法与极大似然估计法进行模型参数估计。

通过加速寿命试验得到的故障样本量通常数量较少 , 因此 ,可以选用Kolmogorov—Smirnov检验法(简称K—S检验法)来检验故障样本的经验分布与理论分布(即weibull分布)的拟合程度。首先,按照下式计算经验分布与weibull分布的差值最大值:

式中:sup为上确界,即表示最大值;Fn(ti)为寿命试验故障样本的经验分布;F^(ti)表示weibull分布;α为显著性水平,通常取α=0.01;D^n,α表示寿命试验故障样本的经验分布与理论分布的差值和错一位差值的最大值。

通过查表得到α=0.01下的D^n,α临界值,然后进行如下比较:若满足D^n,α <Dn,α,则接受故障时间服从weibull分布的假设;否则,拒绝该假设。

最小二乘法估计的weibull分布模型的拟合优度检验结果为:

极大似然估计法估计的weibull分布模型的拟合优度检验结果为:

模型的拟合优度检验结果表明,该组电磁继电器的寿命分布服从weibull分布,且最小二乘法估计的weibull分布模型拟合优度最优。

2.3 可靠性评估与分析

根据模型拟合优度的检验结果,本文选择weibull(377.07,4.59)模型用于该组电磁继电器的可靠性评估与分析,则该组电磁继电器在极端环境温度120℃下的故障率分布如式(24)所示,其对应的故障率分布曲线如图3所示,处于耗损故障期,故障率呈指数型增长。

在可靠性评估中,常使用设计寿命、平均寿命、特征寿命评估设备寿命,具体如下:

1)设计寿命。设计寿命是指设备在不失去使用功能的前提下的有效使用时间,通常使用B10寿命来描述设备的可靠性与寿命,代入weibull(377.07,4.59)模型,即获得该组电磁继电器在极端环境温度120℃下的设计寿命为:

即运行至230.96 h时,90%的该型号电磁继电器在极端环境温度120℃下不会发生故障。

2)平均寿命。平均寿命即期望寿命,是指设备在发生故障前的平均工作时间,代入weibull(377.07,4.59)模型,即获得该组电磁继电器在极端环境温度120℃下的期望寿命为:

进而得出该型号电磁继电器在极端环境温度120℃下发生故障前的平均工作时间为344.50 h。

3)特征寿命。在weibull分布模型中,当t=η时,累积故障概率函数与可靠性函数均与形状参数β无关,且存在如下关系:

因此,该型号电磁继电器在极端环境温度120℃下的特征寿命为377.07 h,运行至该时刻,已有63.21%的电磁继电器发生故障。

最后,根据上述可靠性评估结果,进一步绘制该型号电磁继电器在极端环境温度120℃下的寿命分布曲线,结果如图4所示。

3 结论

本文通过加速寿命试验获取电磁继电器在极端环境温度120℃下的故障样本数据,然后对其建立weibull分布模型,并分别使用WPP法、最小二乘法与极大似然估计法估计weibull分布模型参数,最后,基于模型拟合优度检验结果,选取最优weibull分布模型评估电磁继电器的可靠性,结果表明:

1)最小二乘法与极大似然估计法估计的累积故障概率分布与故障样本的经验分布均能较好地拟合,而wPP法易受人为等主观因素影响导致拟合精度较差。因此,应用weibull分布模型进行可靠性建模时,应当优先选用最小二乘法与极大似然估计法估计模型参数。

2)极端环境温度120℃下的电磁继电器处于耗损故障期,故障率呈指数型增长,基于weibull分布模型绘制的电磁继电器在极端环境温度120℃下的寿命分布曲线,可以为电磁继电器在复杂运行环境下的可靠性分析与寿命预测提供理论依据,对运行现场管控人员执行预防性维修、定期维修等操作具有重要的指导意义。

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《机电信息》2025年第14期第20篇