用频率采样法设计FIR滤波器

有限长脉冲响应(FIR)数字滤波器由于设计灵活，滤波效果好以及过渡带宽易控制，因此在数字信号处理领域得到了广泛的应用。FIR数字滤波器的典型设计方法主要有窗函数法和频率采样法。正确理解和掌握这两种设计方法是学习FIR数字滤波器的一个重要环节。用窗函数法进行FIR滤波器设计的相关问题，目前的教材讲解较为细致，这里不再赘述。本文主要探讨用频率采样法设计FIR数字滤波器的相关问题，主要包括设计原理、性能分析、线性相位条件及设计中应注意的问题等几个方面。

1 设计原理及滤波器性能分析
    频率采样法是从频域出发，对给定的理想滤波器的频响进行N点等间隔采样，即，然后以此Hd(k)作为实际FIR滤波器的频率特性采样值H(k)，即令：
   
    由DFT定义，可以用这N个频域的采样值H(k)来惟一确定FIR的单位脉冲响应h(n)，即：
   
    下面对设计出的滤波器频率响应特性进行分析。由频域采样定理中的内插公式可以知道，利用这N个频域采样值H(k)同样可以求得FIR滤波器的频率响应，这个将逼近理想滤波器的频响。的内插公式为：
   
    从式(5)可以看到，在各频率采样点上，设计的滤波器，实际的频率响应严格地与理想滤波器的频率响应数值相等，即。但是在采样点之间的频率响应是由各采样点的加权内插函数叠加而形成的，因而有一定的逼近误差。该误差大小取决于理想频率响应的形状，理想频响特性变化越平缓，内插值越接近理想值，逼近误差越小；反之，如果采样点之间的理想频响特性变化越陡，则内插值与理想值之间的误差越大，因而在理想滤波器不连续点的两边，就会产生尖峰，而在通带和阻带就会产生波纹。用频率采样法设计的实际滤波器频率响应如图1所示。由图1可知，实际滤波器的阻带衰减取决于内插函数第一旁瓣幅度值的大小，其大小决定了所设计的滤波器的阻带性能。

2 线性相位条件
    FIR滤波器的最大优点是严格的线性相位特性。下面讨论为实现线性相位，在频域内采样得到的Hd(k)应满足什么条件。FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)是实序列，且满足h(n)=±h(N-1-n)，即h(n)关于对称，其中N为滤波器的长度。以第一类线性相位条件h(n)=h(N-1-n)(偶对称)为基础来推导频域采样Hd(k)满足的条件。
    理想滤波器的频率响应可以表示为：
   
    为实现第一类线性相位条件，相位函数θ(ω)和幅度函数Hg(ω)应分别满足：
   
          
    式(10)和式(11)就是频率采样值Hd(k)满足第一类线性相位的条件。关于第二类线性相位的条件这里就不再推导，具体公式可参阅相关的教科书。

3 设计实例及性能分析
    现以低通滤波器为例，说明用频率采样法设计FIR线性滤波器的一般步骤及设计中应注意的问题。要求截止频率ωc=0．2π rad／s，采样点数为N=20。设计步骤如下：
    第一步：确定希望逼近的理想滤波器的频率响应
   
    第二步：在频域内对进行N点等间隔采样，利用频率采样设计公式求频率采样值Hd(k)，采样间隔△ω=2π／N=O．1 π，这样在通带内共有3个采样点，分别是k=0，1，2。利用频率采样设计式(10)和式(11)，可以得到：
   
    第三步：用离散傅里叶逆变换求得要设计的实际滤波器的单位脉冲响应h(n)：
   
    第四步：根据傅里叶变换的定义求得实际滤波器的频率响应，验证是否满足滤波器技术指标的要求，主要验证滤波器的阻带衰减是否能够满足阻带的要求。借助于Matlab软件，按照以上4个步骤设计出低通滤波器的仿真结果如图2所示。

    由仿真结果图2(d)可以看出其衰减比较小，约为-17 dB。在通常情况下，这个阻带衰减不能满足阻带技术指标的要求，可以通过在通带和阻带之间的边界频率处增加过渡采样点来增大阻带衰减。
    为改进阻带衰减，在边界频率处增加一个过渡点；为保证过渡带宽不变，将采样点数增加一倍，变为N=40，并将过渡点的采样值进行优化，取H1=O．390 4，其仿真结果如图3所示。由图3(d)可见，这时阻带衰减达到了-43 dB。

    为进一步增加阻带衰减，可再增加一个过渡采样点，并将采样点数增加到60。两个过渡样点值经优化分别为H1=O．592 5和H2=O.1099，其仿真结果如图4所示。由图4(d)可见，这时阻带衰减达到-73 dB。还可以通过进一步增加过渡样点来增加阻带衰减，一般情况下，最多增加3个过渡采样点即能满足阻带衰减的要求。显然，在保证过渡带宽不变的情况下，相应的采样点数也成倍增加，这样将使滤波器的复杂度大大增加，在实现滤波时计算量也随之增加。

4 结语
    Matlab仿真结果验证了用频率采样法设计FIR线性相位数字滤波器这一数字信号处理中的基本理论，有助于学生深入理解并掌握这一重要的FIR滤波器设计方法。需要强调的是，频率采样法是从频域出发直接设计滤波器的，而窗函数法是从时域出发设计滤波器的，两种设计方法各有优缺点。窗函数法设计FIR数字滤波器是傅里叶变换的典型运用，而频率采样法设计的指导思想是频域采样定理及内插公式，其阻带衰减的改善是通过增加过渡采样点实现的，同时为保证过渡带宽的不变，滤波器的采样点数也要相应增加，计算复杂度也随之成倍增加，这就要求在用频率采样法设计FIR滤波器时，要综合考虑阻带衰减和滤波器长度的要求，从而达到设计的最优化。