自适应耦合TV和高阶PDE的图像放大模型

　　图像放大指增大图像尺寸或提高其分辨率，同时保持较高的质量，以得到一个较好的视觉效果，或突出某些细节。图像放大通常可分两步进行：首先对图像进行空间变换;其次对图像进行灰度级插值、处理。

　　传统的线性插值算法有最近邻法、双线性插值法以及三次样条插值法等。这些方法用一些已知的简单函数根据一定的光滑性要求逼近原图像。它们有其固有的缺点，如放大后的图像边缘模糊化和边缘锯齿化，而且放大倍数越大，这些现象越明显。自适应插值方法在空间上使插值系数较好地匹配边缘附近的局部图像结构，但在选择和估计感兴趣的边缘时会导致误差。边缘指导的插值方法利用有限的对于边缘的方向和幅度的量化来拟合图像的亚像素边缘，阻止跨边缘的插值，因而能够产生尖锐的边缘，但对于边缘的拟合过于简单和粗糙，且会丢失一些图像特征。其他还有基于凸集投影的迭代方法，基于小波变换和数学形态学的方法等，这些方法在性能上仍然有待提高，特别是在图像含有噪声的情况下。

　　基于偏微分方程(ParTIal DifferenTIal EquaTIons，PDE)的图像放大方法是在插值图像的基础上，通过迭代演化求解扩散方程，从而得到高分辨率图像，并去除噪声和人工痕迹等的影响。由于可以很方便地引入先验知识，其获得了良好的处理性能，已引起了广泛关注，其中主流是基于正则化的PDE方法。各向同性扩散的PDE模型放大图像时容易出现边缘模糊、细节特征丢失等现象。而各向异性扩散的PDE虽然能在某种程度上保持放大图像的细节特征，但随着迭代求解次数的增加，图像部分重要信息会偏离原图像，导致图像模糊。采用总变分(Total V-ariaTIon，TV)模型进行图像放大，能够有效保持突变边缘，且收敛速度快，但在平坦区域和渐变区域会产生分块效应。而四阶PDE模型具有保持平坦区域光滑度的优点，将其用于图像放大会避免分块效应，但却降低了边缘等重要几何结构的清晰度。

　　为充分运用四阶PDE模型保持渐变区域光滑度的优点，弥补总变分TV模型存在分块效应的不足，同时也保留了TV模型保持图像中不连续边缘的优点，本文提出了自适应耦合总变分TV和四阶PDE的正则化图像放大模型。根据图像内容合理调整耦合系数，在图像渐变区域和平坦区域主要运用四阶模型进行平滑，消除阶梯效应和分块效应;在图像的突变区域着重运用TV模型进行平滑，保持突变边缘。仿真实验证明，本文算法能够有效提高放大图像的主观视觉质量和客观保真度。

　　1 自适应耦合TV和四阶PDE的正则化图像放大模型

　　TV模型最初用于图像恢复中。设g，u分别表示低分辨率图像和高分辨率图像，根据极大似然原理，图像放大可以归结为如下不带约束的正则化能量方程的极小化问题：

　　式中：D为图像分辨率退化模型矩阵，刻画了图像获取中的低通滤波和下采样过程;式中第一项为逼近项，表示图像和退化图像的差异;第二项为图像的正则化函数，它依赖于图像，函数R(·)对图像u加以约束，一般取为梯度的Lp(p>0)范数;λ>O为Lagrange乘子，在逼近项和正则化函数之间起平衡作用。

　　如果选择图像梯度的L2范数作为正则化函数，则因为拉普拉斯算子具有很强的各向同性扩散特性，造成边缘保持特性较差。总变分TV模型用图像梯度的L1范数代替L2范数，具有很好的边缘保持特性。图像的TV定义为：

　　式中：Ω是图像区域。于是图像放大问题就转化成为如下无约束极小化问题：

　　式中：等式右端第一项为图像的总变分范数(TV范数)，它依赖于图像的变分幅度。