开关电源的小信号模型及环路设计

引言

设计一个具有良好动态和静态性能的开关电源时，控制环路的设计是很重要的一个部分。而环路的设计与主电路的拓扑和参数有极大关系。为了进行稳定性分析，有必要建立开关电源完整的小信号数学模型。在频域模型下，波特图提供了一种简单方便的工程分析方法，可用来进行环路增益的计算和稳定性分析。由于开关电源本质上是一个非线性的控制对象，因此，用解析的办法建模只能近似建立其在稳态时的小信号扰动模型，而用该模型来解释大范围的扰动（例如启动过程和负载剧烈变化过程）并不完全准确。好在开关电源一般工作在稳态，实践表明，依据小信号扰动模型设计出的控制电路，配合软启动电路、限流电路、钳位电路和其他辅助部分后，完全能使开关电源的性能满足要求。开关电源一般采用Buck电路，工作在定频PWM控制方式，本文以此为基础进行分析。采用其他拓扑的开关电源分析方法类似。

图1为典型的Buck电路，为了简化分析，假定功率开关管S和D1为理想开关，滤波电感L为理想电感（电阻为0），电路工作在连续电流模式（CCM）下。Re为滤波电容C的等效串联电阻，Ro为负载电阻。各状态变量的正方向定义如图1中所示。

S导通时，对电感列状态方程有L(dil/dt)=Uin－Uo （1）S断开，D1续流导通时，状态方程变为L(dil/dt)=－Uo ( 2）

占空比为D时，一个开关周期过程中，式（1）及式（2）分别持续了DTs和（1－D）Ts的时间（Ts为开关周期），因此，一个周期内电感的平均状态方程为

L(dil/dt)=D(Uin－Uo)＋(1－D)(－Uo)=DUin－Uo （3）

稳态时，=0，则DUin=Uo。这说明稳态时输出电压是一个常数，其大小与占空比D和输入电压Uin成正比。

由于电路各状态变量总是围绕稳态值波动，因此，由式（3）得
L[d(il il')/dt]=(D＋d)(Uin＋Uin')－(Uo＋Uo') （4）

式（4）由式（3）的稳态值加小信号波动值形成。上标为波浪符的量为波动量，d为D的波动量。式（4）减式（3）并略去了两个波动量的乘积项得

L(dil'/dt)=DUin'＋dUin－Uo' （5）
由图1，又有
iL=C(duc/dt)＋Uo/R0 （6）
Uo=Uc＋ReC(duc/dt) （7）
式（6）及式（7）不论电路工作在哪种状态均成立。由式（6）及式（7）可得
iL＋ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(duo/dt)) （8）

式（8）的推导中假设Re<
式（9）减式（8）得
iL ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(dUo/dt)) （10）
将式（10）进行拉氏变换得
iL(s)=(Uo(s)/Ro)·[(1 sCRo)/(1 sCRe)] (11)
(s)=（11）一般认为在开关频率的频带范围内输入电压是恒定的，即可假设=0并将其代入式（5），将式（5）进行拉氏变换得
sLiL'(s)=d(s)Uin－Uo'(s) （12）
由式（11），式（12）得
Uo'(s)/d(s)=Uin[(1 sCRe)/(s2LC s(ReC L/Ro) 1] （13）
iL'(s)/d(s)=[(1 sCRo)/s2LC s(ReC L/Ro) 1]·Uin/Ro （14）
式(13)，式(14)便为Buck电路在电感电流连续时的控制－输出小信号传递函数。
式（9）减式（8）得
iL ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(dUo/dt)) （10）
将式（10）进行拉氏变换得
iL(s)=(Uo(s)/Ro)·[(1 sCRo)/(1 sCRe)] (11)
(s)=（11）一般认为在开关频率的频带范围内输入电压是恒定的，即可假设=0并将其代入式（5），将式（5）进行拉氏变换得
sLiL'(s)=d(s)Uin－Uo'(s) （12）
由式（11），式（12）得
Uo'(s)/d(s)=Uin[(1 sCRe)/(s2LC s(ReC L/Ro) 1] （13）
iL'(s)/d(s)=[(1 sCRo)/s2LC s(ReC L/Ro) 1]·Uin/Ro （14）
式(13)，式(14)便为Buck电路在电感电流连续时的控制－输出小信号传递函数。

2 电压模式控制（VMC）

电压模式控制方法仅采用单电压环进行校正，比较简单，容易实现，可以满足大多数情况下的性能要求，如图2所示。

图2中，当电压误差放大器（E/A）增益较低、带宽很窄时，Vc波形近似直流电平，并有

D=Vc/Vs （15）
d=Vc'/Vs （16）

式（16）为式（15）的小信号波动方程。整个电路的环路结构如图3所示。图3没有考虑输入电压的变化，即假设Uin=0。图3中，（一般为0）及分别为电压给定与电压输出的小信号波动；

KFB=UREF/Uo，为反馈系数；误差e为输出采样值偏离稳态点的波动值，经电压误差放大器KEA放大后，得；KMOD为脉冲宽度调制器增益，KMOD=d/=1/Vs；KPWR为主电路增益，KPWR=/d=Uin；KLC为输出滤波器传递函数，KLC=(1 sCRe)/[S2LC s(ReC L/Ro) 1]。

在已知环路其他部分的传递函数表达式后，即可设计电压误差放大器了。由于KLC提供了一个零点和两个谐振极点，因此，一般将E/A设计成PI调节器即可，KEA=KP(1＋ωz/s)。其中ωz用于消除稳态误差，一般取为KLC零极点的1/10以下；KP用于使剪切频率处的开环增益以－20dB/十倍频穿越0dB线，相角裕量略小于90°。

VMC方法有以下缺点：

1）没有可预测输入电压影响的电压前馈机制，对瞬变的输入电压响应较慢，需要很高的环路增益；
2）对由L和C产生的二阶极点（产生180°的相移）没有构成补偿，动态响应较慢。
VMC的缺点可用下面将要介绍的CMC方法克服。

3 平均电流模式控制（AverageCMC）

平均电流模式控制含有电压外环和电流内环两个环路，如图4所示。电压环提供电感电流的给定，电流环采用误差放大器对送入的电感电流给定（Vcv）和反馈信号（iLRs）之差进行比较、放大，得到的误差放大器输出Vc再和三角波Vs进行比较，最后即得控制占空比的开关信号。图4中Rs为采样电阻。对于一个设计良好的电流误差放大器，Vc不会是一个直流量，当开关导通时，电感电流上升，会导致Vc下降；开关关断，电感电流下降时，会导致Vc上升。电流环的设计原则是，不能使Vc上升斜率超过三角波的上升斜率，两者斜率相等时就是最优。原因是：如果Vc上升斜率超过三角波的上升斜率，会导致Vc峰值超过Vs的峰值，在下个周波时Vc和Vs就可能不会相交，造成次谐波振荡。

采用斜坡匹配的方法进行最优设计后，PWM控制器的增益会随占空比D的变化而变，如图5所示。

当D很大时，较小的Vc会引起D较大的改变，而D较小时，即使Vc变化很大，D的改变也不大，即增益下降。所以有

d=DV'/Vs （17）
不妨设电压环带宽远低于电流环，则在分析电流环时Vcv为常数。当Vc的上升斜率等于三角波斜率时，在开关频率fs处,电流误差放大器的增益GCA为
GCA[d(iLRs)/dt]=GCA(Vo/L)Rs=Vsfs （18）
GCA=Vc'/(iL'Rs)=VsfsL/(UoRs) （19）
高频下，将式（14）分子中的“1”和分母中的低阶项忽略，并化简，得
iL'(s)=[d(s)Uin]/sL （20）
由式（17）及式（20）有
(iL'Rs)/Vc'=[Rsd(s)Uin/(sL)]/[d(s)Vs/D]=(RsUinD)/(sLVs) （21）
将式（19）与式（21）相乘，得整个电流环的开环传递函数为
(RsUinD/sLVs)·(VsfsL)/(UoRs)=fs/s （22）

图7

将s=2πfc代入上式，并令上式等于1时，可得环路的剪切频率fc=fs/(2π)。因此，可将电流环等效为延时时间常数为一个开关周期的纯惯性环节，如图6所示。显然，当电流误差放大器的增益GCA小于最优值时，电流响应的延时将会更长。

GCA中一般要在fs处或更高频处形成一个高频极点，以使fs以后的电流环开环增益以－40dB/dec的斜率下降，这样虽然使相角裕量稍变小，但可以消除电流反馈波形上的高频毛刺的影响，提高电流环的抗干扰能力。低频下一般要加一个零点，使电流环开环增益变大，减小稳态误差。

整个环路的结构如图7所示。其中KEA，KFB定义如前。可见相对VMC而言（参见图3），平均CMC消除了原来由滤波电感引起的极点（新增极点fs很大，对电压环影响很小），将环路校正成了一阶系统,电压环增益可以保持恒定，不随输入电压Vin而变，外环设计变得更加容易。

4 峰值电流模式控制（PeakCMC）

平均CMC由于要采样滤波电感的电流，有时显得不太方便，因此，实践中经常采用一种变通的电流模式控制方法，即峰值CMC，如图8所示。电压外环输出控制量（Vc）和由电感电流上升沿形成的斜坡波形(Vs)通过电压比较器进行比较后，直接得到开关管的关断信号（开通信号由时钟自动给出），因此，电压环的输出控制量是电感电流的峰值给定量，由电感电流峰值控制占空比。

峰值CMC控制的是电感电流的峰值，而不是电感电流（经滤波后即负载电流），而峰值电流和平均电流之间存在误差，因此，峰值CMC性能不如平均CMC。一般满载时电感电流在导通期间的电流增量设计为额定电流的10％左右，因此，最好情况下峰值电感电流和平均值之间的误差也有5％，负载越轻误差越大，特别是进入不连续电流（DCM）工作区后误差将超过100％，系统有时可能会出现振荡现象。在剪切频率fc以下，由图6可知平均CMC的电流环开环增益可升到很高（可以>1000），电流可完全得到控制，但峰值CMC的电流环开环增益只能保持在10以内不变（峰值电流和平均值之间的误差引起），因此，峰值CMC更适用于满载场合。

峰值CMC的缺点还包括对噪音敏感，需要进行斜坡补偿解决次谐波振荡等问题。但由于峰值CMC存在逐周波限流等特有的优点，且容易通过脉冲电流互感器等简单办法复现电感电流峰值，因此，它在Buck电路中仍然得到了广泛应用。

5 结语

采用平均状态方程的方法可以得到Buck电路的小信号频域模型，并可依此进行环路设计。电压模式控制、平均电流模式控制和峰值电流模式控制方法均可用来进行环路设计，各有其优缺点，适用的范围也不尽相同。