时变磁场中的电路分析
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欧姆定律和Kirchhoff电压定律(KVL)是进行常规电路分析(网格分析)的强有力的工具。然而，如果电路中存在时变磁场，则必须采用法拉第定律。为了计算时变磁场导致的额外电流，必须在欧姆定律和KVL中增加一项。将法拉第定律引入电路分析等式将导致意想不到的异常现象：电路的两个结点之间看似同时存在两个电压，并且电压似乎取决于电压表探针的位置。
非时变磁场中的电路分析(回顾)
不存在磁场时，通常用KVL和欧姆定律基于网格技术进行电路分析。如一般课本中所述，KVL指出闭合回路中各段电压的代数和等于零(式1)。
考虑图1所示电路磁场关闭时的情况。如果用电压表测量回路中任一元件两端的电压，则所有电压的总和等于零，和KVL (式2)所指出的一致。(注意：如果以顺时针为计算参考方向，则电阻两端电压为负。)
图1. 为说明随时间变化磁场的影响，考虑一个简单的闭合回路(由一个电池和两个电阻器组成)在有或无磁场时的响应。
可用欧姆定律和KVL求出图1中的参数值。首先，将式3和4代入式2，得到计算回路电流的等式。 然后根据式5计算出电流。
注意：KVL可以写成积分形式。电磁理论课本中将电压定义为电场(E)沿路径(dl) (如图1中结点A到结点C)的向量积分(式6)。不存在磁场时，从结点A沿C到E再回到A的围线积分等于零(式7)。因此，Kirchhoff电压定律可以写成积分形式：电场的围线积分等于零。
时变磁场中的电路分析
现在，打开图1中的磁场。该磁场随时间变化，将在回路中产生电流，这种情况下要使用法拉第定律。法拉第定律的定义为：感应电动势沿闭合回路切向方向的积分等于穿过该闭合回路的磁通量的变化率(式8)：
其中B是磁场，A是该闭合回路的截面积，F是通过该区域的总磁通量。电感电流的方向取决于磁场方向。如图1所示，如果变化的磁场方向是指向页面外，则产生的电流为顺时针方向。这时的总电流是电池电流(IU1)和磁感应电流(IMAG)的总和：
此时必须对欧姆定律进行修改(扩展)，以计算额外的电流：
KVL也必须扩展。比较式1、式7和式8可以看出，在式1的右侧增加一个-d/dt项即可扩展KVL：
重新整理等式2至5，使之包括随时变磁场的分量：
这样一来，等式1至5已扩展为等式11至15，可以用来计算磁场产生的电流。等式11是扩展后的KVL定律，等式15是扩展后的欧姆定律，d/dt项的符号表示电流的方向。这些等式看似很简单，但描述的现象似乎互相矛盾。
使用等式12至15， 考虑分析图1所示带有时变磁场的电路。 电压U1 (结点A-F)为VAF = U1。 但是，VAF也等于回路电流乘以两个电阻的阻值：
结点A-F现在有两种可能的电压。实际上，图1中包含一个元件的每对结点都有两种可能的电压。参见等式16至25。为进行简单的比较，任意设置U1 = 2V， d/dt = 1V， R1 = 2k， R2 = 4k . 那么，由等式15可得回路电流为0.5mA.
结点B-C需特别关注，因为通过R1的电流是非零的，然而其两端的电压可以为零。与之类似，结点E-F是一根短接线(零欧姆)，然而其上的电压却是非零的。那么究竟哪个电压正确？根据数学理论可以得到答案。这两个电压同时存在! 从数学上来说，得到的电压取决于测量时采用的积分路径。切记电压是电场沿特定路径的向量积分。如果存在一个时变磁场，则积分是由路径而定的。简而言之，电压取决于测量电路(电压表)与结点的连接方式。
如图2所示，用电压表#1在左侧测量结点A-F，测得U1 = 2V。相反，用电压表#2在右侧测量结点A-F (B-E同A-F一样)，结果如下：
图2. 用两个电压表测量同一对结点，但测得的电压不同。电压表#1测得的是U1中电场的积分，电压表#2测得的是R1和R2中电场的积分。
与常见误解相反的是，产生的电压并非分布在连接电阻器的导线中，而是在电阻器之内。导线中的电场积分是零，因此导线两端电压为零。将电压表#1探针的接触点从A滑向B，实验证明连接导线上的电压降为零。因此，电压表#1的电压不变。同样，探针接触点从F滑向E时电压表#1电压不变。对电压表#2进行同样的操作：探针触点从B到A或从E到F时读数不变。注意电压表探针位置应合适，使磁场干扰减到最小。
测得的电压看似取决于探针位置。电压表#1的作用像一个电场积分器，对电池U1的电场进行积分。电压表#2对R1和R2中的电场进行积分。选择不同的积分路径，测量出的电压也不同。
可以用另一个例子来证明电压对位置的这种依赖性。考虑图3所示电路，当音频信号(1kHz正弦波)被音量控制电位器(R1)衰减并馈送到音频放大器时，用频谱分析仪分析其输出。旁边的一个电动机会在由R1和音频信号源形成的回路中产生磁场干扰。为简化电路，R1用串联的1k和10k电阻器替换; 磁通量穿过的回路面积被有意扩大至一平方英寸。对以下两种物理布局进行了测试(图4)。
图3. 用来演示电磁干扰如何降低音频质量的音频应用电路。
图4. 从10k电阻器附近引出地线(a)或在回路顶层设置地线(b)，音量控制电路的物理布局对电磁干扰有影响。
图5a和5b给出了音频放大器的输出频谱曲线。两种情况下使用同一个1kHz音频测试信号，但300Hz电机干扰的振幅仅取决于地线连接方式。采用图4a所示连接时电磁干扰最严重(-62dBc)，这时音频放大器接收的干扰电压来自10k电阻器(图5a)。音频放大器等效为电场积分器，对10k电阻器中的电场进行积分。另一方面，图5b (在图4b基础上的输出频谱)显示的是来自1k电阻器的干扰电压。该曲线的干扰较小(-78.5dBc)，表明有16.5dB的改善。(期望的干扰差值是20dB，因为电阻器比是10:1。然而，音频放大器输入阻抗的负载效用降低了干扰振幅，如图5a。)
图5a. 图4a电路中来自电动机的电磁干扰导致300Hz处出现一个峰值，低于音频测试信号约62dBc。
图5b. 图4b电路中来自电动机的电磁干扰导致300Hz处出现一个峰值，低于音频测试信号约78.5dBc - 比图5a电路减小了16.5dB。
这一现象以实验的方式验证了附录A中两个电压的数学推导过程。注意两个结点之间的电压并无明确定义;它可以是两电压之一，具体取决于导线的排布。该实验表明，两结点之间的电压不再是一个简单的代数表达式，而是沿一个给定路径对电场向量的积分。由于积分取决于路径或位置，因此沿不同积分路径将产生不同的电压。上文中所述的等式9至15不能清楚地揭示出电压对位置的依赖性，使用时必须谨慎。
存在电磁干扰时的PCB布局
重申上文结论，来自某些元件(如电动机和开关电源中的功率电感)的电磁干扰可能导致系统噪声。良好的PCB布局可使这种干扰减到最小。
规则#1: 使磁性元件远离噪声敏感电路。规则#2: 将回路中的电子元件(IC，电阻器，电容器等)布局在一起，以使回路面积减到最小。规则#3: 用经过上文分析确认能将电磁干扰降至最低的的方式连接地线。规则#4: 如果规则#3中地线的连接方式不容易被确认，则改为使用大面积地平面。实验表明，大面积地平面可降低电磁干扰。结束语
如果不存在时变磁场，则可以放心地用Kirchhoff电压定律和欧姆定律进行电路分析。但如果存在这样的磁场，则必须借助法拉第定律扩展KVL和欧姆定律。如上文所述，时变磁场可导致一对结点之间同时出现两个电压。双电压的影响似乎取决于电压表探针的位置，这使得该“电压”很不确定。两结点之间的电压不再单纯以代数或数字形式表达，而是一个复合向量积分，还和路径相关。因此，了解磁场如何导致电路中的噪声可帮助PCB设计人员更好的放置元件以使电磁干扰减到最小。
附录A
为简单起见，我们设置图1中的U1为零。(然而，在以下讨论中U1可以不必为零。)根据图1重新画出图A1，图中带有电压表并存在一个时变磁场。
图A1. 该电路显示时变磁场如何导致结点A-B之间出现两个不同电压，如两个电压表测量所示。
从V1减去V2得到等式A3。将该等式右侧项的积分路径改为从B到A (而不是从A到B)，同时该项的符号也跟着改变，等式A3变为等式A4。
等式A4的右侧是电场围绕包含磁场的闭合回路一周的围线积分(用磁通量密度B表示)。根据法拉第定律，等式A5与等式A4是等效的。
因此可以得出下式：
其中A是回路面积，是通过该区域的总磁通量。为简单起见，假设磁场随时间线性增加，则d/dt = 。
流过两个电阻器的电流是相同的，并且等式A7通过欧姆定律给出了电压降与电流的关系。注意其方向与电流的积分方向一致。将等式A7两边的积分路径都改为从结点A到B，并给R1项增加一个负号，重新整理后得到等式A8。
由于C1和C1'形成的闭合回路不包括磁场，因此沿路径C1的积分与沿C1'积分相同。同样，C2'可以用C2替换。然后将V1和V2的表达式(等式A1和A2)代入等式A8，得到等式A9。最后得出联立等式A6和A9，从而得到我们想要的电压V1和V2的表达式(等式A10和A11)。
注意V1和V2的极性是相反的。 另外，电阻器两端电压是电场沿某路径的积分。如果d/dt 0，则积分值与路径相关。这种效果是非守恒电场所导致的。从结点A到B沿路径C1对电场积分(图A1)，可以得到一个与沿路径C2积分不同的值。因此，测得的电压取决于电压表所监测的路径。
参考文献
1Robert H. Romer, "What do 'Voltmeters' Measure? Faraday's Law in a Multiply-Connected Region," American Journal of Physics. Vol. 50, No. 12 (Dec. 1982), pp. 1089-1093.
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