一个概率的思考

在大学的食堂里总有机会能看到有男生和女生一起吃饭。看到这种现象，我想到一个问题，我们看到的正在一起吃饭的男女，他们是情侣的概率有多少呢？

想利用概率论的一点知识思考下这个问题，把自己觉得正确分析写出来，有兴趣的同学，可以发言讨论下。

我们假设：

  1） 校园里M个男同学和N个女同学。

  2） 女同学的个体数小于男同学的个体数。

  3） 找了本校在校男同学作为男朋友的女同学个数占所有女同学个数的20%。当然各位可以提出自己的数值，这里只是为了简化讨论。

  4） 在校园中任意选取一个男生，这个行为是公平的。就是说，如果我想随便找一个男生，那么每个男生被我抽到的概率是相等的。女生也有同样的假设。

根据这些假设，我们可以知道：

  * 校园中共有 M*N 种不同的男女组合。

  * 在这些组合中 有 0.2N 种组合，每个组合种的两个异性互为情侣。

  * 由于假设4，任意在校园中找一个男生，再找一个女生，他们是情侣的概率是：0.2N/(MN) = 0.2/M.

我们记 “在校园中找一个男生，再找一个女生” 这个随机试验的一个结果 “他们是情侣” 为事件 A。

下面我们把目光放到0.2N对情侣身上。 对于这些情侣，我们考虑他们一起吃午餐的概率。 对于每一对情侣，他们要么一起吃午饭，要么不一起吃午饭，我们给这些情侣先编个号，考虑第 i 对情侣，他们一起吃午饭的概率设为pi。这样每对情侣都服从有差异的两点分布了，这样我们就很难更进一步讨论了。 所以我们假设每对情侣他们一起吃午饭的概率是相同的。 考虑校园内 任意一对男女，他们不是情侣（大约有(M-0.2N)(0.8N)种可能的组合），这样任意取一对，他们在一起吃午饭的概率也假设相等，当然这个很不科学，但是我想不出什么办法来考量这个问题。 我们设 ”任意一个男生和任意一个女生在一起吃饭“ 这个事件为B。 那么P（B|A）表示，一对情侣他们在一起吃饭的概率。 P（B|~A）表示一对非情侣的男女一起吃饭的概率。 P(A|B) 表示任意一对男女他们在一起吃饭 他们是情侣的概率。

假设我们在食堂看见一对男女在吃饭，他们是情侣的概率（P(A|B)）的概率是多少呢？

根据贝叶斯公式。 

P(A|B) = [ P(A)P(B|A) ] / [ P(A)P(B|A) + P(~A)P(B|~A)  ]

我们继续人为的认为 情侣们比较喜欢在一起吃饭， 所以我们使用一个比较大的概率来描述 P(B|A)也许是合理的， 这里我们假设它为 0.8。 

我们觉得任意一个男生和一个女生在一起，他们如果不是情侣，他们一起进餐的可能性会相对较小一点，所以我们可以给一个较小的概率来描述这个， 假设 P(B|~A) = 0.4 。

我们以华中科技大学为例， 实际在校学生越有 56 000人， 根据民间说法男女比例约为 7:1 。所以 男同学的数量大约是 49 000 。P(A) = 0.2/49000 = 4.08E-6 

那么 P(A|B) 大约是 8.16E-6 （如果没有计算错的话）。 也就是说 在食堂看到一对男女在吃饭，他们是情侣的概率非常小，可以忽略了。 可是我们仍然能在食堂看到吃饭的男女在亲亲我我，显然他们是情侣的概率很大。 这跟我们的计算结果又点不符合。 我哪里错了？ 可以改进么？