改进S型速度曲线替代三角函数速度曲线的研究

0引言

传统的刚性并联机构由刚性臂或连杆驱动,具有很强的承载能力和运动刚度。绳驱动并联机器人(CDPR)通过利用绳作为传力元件,扩大了刚性并联机构的应用范围,从而在保持刚性并联机构关键特征的同时,显著扩大了末端执行件(EE)的工作空间。此外,由于其重量轻、运动惯性低,该绳在运动端具有很强的动态性能,允许以最低的维护成本进行高速运动。这些优势使得绳驱动并联机器人在各种场景得到广泛应用,如大型港口装卸设备、高速摄影设备、中国FAST射电望远镜(图1)和美国N,ST起重系统(图2)。

同时,绳驱动也有一个明显的缺点:由于柔性,绳只能承受张力。因此,在绳运动过程中,末端执行器必须解决不同空间位置拉力恒正的问题。由于绳的内部张力与其运动形式密切相关,故通过设计EE 特定的运动形式,抵消每条绳的运动可能产生的力突变,从而确保提升杆和每个绳驱动器的加速连续性。

复杂环境下的吊装研究主要集中在受海风和波浪影响的船舶吊装平台上,会采用适当的运动补偿算法来保持提升过程的稳定性。在对起重物体进行动态分析时,通常将其简化为对物体吊点的激励,对吊点运动的控制决定了物体所需的起重机类型。Masoud^[1]开发了一个由刚性无质量吊索和悬吊物体组成的起重系统模型,研究了吊杆的摆动和变幅运动对悬挂物体摆动运动的影响。此外,Lee^[2]探讨了提升船上重心和压载水的变化如何影响物体提升过程中的系统 运动。Idres^[3]开发了起重机之间的八自由度耦合模型,以分析不同条件下的系统运动响应。

本文在文献[4]的基础上深入探讨了改进S型速度曲线与三角函数速度曲线在运动控制中的应用,详细对比了两者的性能特点,重点分析了使用S型速度曲线替代三角函数速度曲线的方法。

1运动学和动力学建模

图3所示配置形式的平面两自由度绳索悬挂机器人具有两个自由度,因此是完全可控的。本节研究末端执行器被置于静态工作空间中的初始位置,通过设计EE的轨迹,使其逐步到达位于静态工作空间边界之外的指定点。

线轴输出点之间的距离用c表示,这些点的(常数)位置向量可以写成d1=[0 a₀]^T和d2=[0 a₁]^T。末端执行器质点EE的位置矢量记为p=[x y]^T,加速度为p“=[x“ y“]^T,质量为m。绳索长度分别记为p₀和p1。机器人的逆运动学模型可写成:

式中:Fi为电绳i中的张力;g=[0 0 g]^T为重力加速度。

式(2)可以被认为是两个未知数(张力F1和F2)的两个线性方程的系统,其可以对F1和F2求解为:

其中f=[F1 F2]^T,并且:

为了确保绳时刻张紧,必须保证张力F1和F2始终保持为正,并假设x>0(即末端执行器保持在线轴下方),则获得以下条件:

上述不等式表示在轨迹上要满足的必要和充分的约束,以确保绳索保持在张力下,轨迹能够实现。可以注意到,这些条件与质量m无关。它们仅取决于重力加速度g,CDPR的配置类型d1、d2和轨迹p及p“。

2 张力产生的原因

根据牛顿第二定律F=ma,一个物体在静止或匀速直线运动时,作用在其上的所有外力的矢量和必须为零。当绳索连接两个物体或固定在一个点上时,绳索内部的张力必须与外部施加的力相平衡,以保持系统的静止或匀速直线运动状态。

比如单根绳索悬挂质量为m的重物时,静止时张力T=mg;当绳索有向上的加速度时,根据牛顿第二定律,张力T=m(a+g)。

因此,可以通过几条绳子共同的合加速度,改变末端执行件的运动形式。

3 平面三角函数周期轨迹

根据文献[4],平面直线三角函数周期轨迹可以设计如下:假设-π/2<α<π/2,而b₀>rsin α,b₀是轨迹中心点偏移x轴的距离,r是直线轨迹的半长;周期运动的频率为w,时间为t。运动方程为:

当α=0时,代入张力约束条件,sin(wt)分别取1和-1,有如下形式:

当g、b0、c确定以后,r趋近于正无穷时,w趋近于其可行范围的中间值√g/b0,当然不会存在r为正无穷的运动,所以选择wn=w是一定可行的。这个频率可以认定为该运动形式的固有频率:

参考式(7),很容易观察到,使用该特定频率,理论上可以产生任意幅度的运动r。该频率wn可以被认为是各种周期震荡的固有频率,在其他频率计算复杂的周期震荡运动时,也经常使用该频率。

当—π/2<α<π/2时,张力约束条件为:

可以确定两个特殊频率,即:

对于图4倾斜直线轨迹,使用式(12)来计算起始点和终止点经过的时间Ti。

使用式(13)计算角度α:

并且ws的相应值从式(12)获得,其中b0取:

最后,由于从点i到点(i+1)的运动对应于半个周期,所以行进时间Ti为:

4 改进S型速度曲线

S型速度曲线是一种常用的运动控制曲线,它通过平滑地调整加速度来减少机械系统的冲击和震动,从而提高系统的稳定性和精度。它有以下特点:

1)减少冲击和震动:通过平滑的加速度变化,S型速度曲线可以显著减少机械系统的冲击和震动。

2)定位精度高:由于加速度的变化是连续的,S型速度曲线可以减少位置误差,提高定位精度,这对于需要高精度运动控制的应用非常重要。

3)动态性能好:S型速度曲线可以更好地匹配电机的动态性能。

以下给出改进S型速度曲线的计算公式,主要改动部分是删除了匀速段,会在式(20)提供具体参数的取值。

式中:v0为初始速度;vmax为最大速度;a为加速度;amax 为最大加速度;jerk为加加速度(减减速度);Ta为加速时间;Td为减速时间;Tj1为v0到最大速度vmax的过渡时间,加加速度为jerk,Tj1包含Ta在内,位于两侧;Tj2为最大速度vmax到v0 的过渡时间,减减速度同为jerk,Tj2包含在Td内,同样位于两侧;T总为总时间;q为位移距离。

注意到图5、图6的S型速度曲线加速度图像中的 加速段、减速段和三角函数周期循环轨迹的速度曲线形状类似,若调配合适,完全可以替代三角函数的轨迹规划形式(注意:Tj1和Tj2是jerk发挥作用的时间,它们包含于Ta、Td内,位于这两个时间开始和结尾)。

因此,可以提出一种改进S型速度曲线,取消匀速段,让三角函数正向幅值阶段的加速时间和S曲线加速时间相等,且最大加速度值相同,正弦加速度函数负向幅值阶段加速时间和S曲线减速时间相等(图7),以求最大程度地接近三角函数周期轨迹。取消匀速段的好处是能最大程度匹配周期三角函数的运行时间。若已经设定两种运动方式的起点相同,就会产生相似度极大的轨迹,从而实现对三角函数的替代。

就正弦函数rsin(wt)而言,选择中间点 (π/6w,r/2)作为一个特殊拟合点 (图8,r=3 m/s2,w=1 Hz),此点幅值正好是正弦函数幅值的一半,也契合正弦函数初始阶段快速增长的趋势,并尽量保持梯形完全包含正弦函数。可以得到一组速度曲线参数:

由于改进S型曲线加速度比替代的正弦函数偏大,所以三角函数周期轨迹可行,则改进S型速度曲线也就可行。其加速度范围如图9、图10所示(虚线矩形为静态工作空间)。

5拟合效果展示

使用Matlab通过平面点(图11)展示了改进S型速度曲线对三角函数周期速度曲线的替代效果,如图12、图13所示。

三角函数周期轨迹通过上述相同点,对应的速 度和加速度图如图14、图15所示。

6结论

在CDPR设备中,S型速度曲线采用多段多项式函数,能够实现速度、加速度和jerk(加速度的变化率)的平滑过渡,从而替代三角函数速度曲线。仿真结果表明,使用该替代方法的CDPR设备表现出很高的运动平稳性,有利于保证系统的稳定性和精度。

[参考文献]

[1] MASOUD ZN,NAYFEHAH,MOOKDT.Cargopendulation reductionofship-mountedcranes [J].NonlinearDynamics,2004,35(3): 299-311.

[2]LEEJH.Dynamic Analysis ofTopsideModule inLiftingInstallation phase [J].Journal ofOcean EngineeringandTechnology,2011,25(4): 7-11.

[3] IDRES M M,YOUSSEFKS,MOOKDT,etal.Anonlinear8-DOF coupled crane-ship dynamic model[C]//44th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures,Structural Dynamics,and Materials Conference,2003: 1855.

[4]GOSSELIN C,FOUCAULTS.Dynamicpoint-to-point trajectory planning ofatwo-DOFcable-suspendedparallel robot[J].IEEE Transactions on Robotics,2014,30(3): 728-736.

《机电信息》2025年第11期第1篇