1% 的齿槽转矩，怎么变成 1.1 毫米的抖动

齿槽转矩按电机额定只占 1%，折算到关节输出却占到 70%。谐波减速器把电机轴的周期性定位转矩按减速比放大，再被关节刚度换成末端位移。真正决定抖不抖的不是齿槽幅值，是减速比和齿槽阶次落在哪个频率上。

齿槽转矩（Cogging Torque）是指永磁电机不通电、绕组开路时，转子因磁路磁阻随位置变化而受到的周期性定位转矩。选型手册通常把它写成"额定转矩的 1% 到 3%"，这个口径在直驱场合有意义，在带谐波减速器的关节模组里会误导人。

一句话答案 齿槽转矩经 100:1 减速器放大到关节输出 14 N·m，是电机轴 0.2 N·m 的 70 倍，末端因此抖动 1.1 mm。

减速比把 1% 放大成 70%

齿槽转矩在电机轴上只占 1%，到关节输出变成 70%，放大倍数就是减速比。一台额定 20 N·m 的关节电机，齿槽转矩 0.2 N·m，占比 1%。这个转矩传到减速器输出端时要乘以减速比，再乘上传动效率。100:1、效率 0.7 的谐波减速器，把 0.2 N·m 变成 14 N·m。

14 N·m 相对 20 N·m 的关节额定转矩是 70%。同一台电机，在电机轴上看是 1%，在关节输出看是 70%，两个数字差了 70 倍。工程上说的"齿槽很小"，用的是前一个口径；机器人感受到的抖动，用的是后一个。

直驱场合不存在这个放大。同一台 20 N·m 电机直接驱动关节，齿槽转矩就是 0.2 N·m，末端抖动只有 0.016 mm。这也是为什么直驱云台很少讨论齿槽，而带谐波减速器的机械臂绕不开它。

图 1　齿槽转矩从电机轴到末端的放大链路（自行绘制，为原理示意，非原文原图复制）

阶次决定频率，不决定幅值

齿槽阶次只改变干扰出现的频率，不改变它的幅值。齿槽转矩每转出现的次数由一个整数决定，叫齿槽阶次，等于槽数与极数的最小公倍数：

N_c = LCM(Q_s, 2p)

式中 Q_s 为槽数，2p 为极数。24 槽 22 极的配合，N_c = 264，转子每转一圈经历 264 个齿槽周期。转速 n（单位 r/min）下的齿槽频率为 f_cog = N_c × n / 60，60 r/min 时是 264 Hz，10 r/min 时是 44 Hz。

这个频率决定了控制器能不能把它滤掉。速度环带宽通常 150 到 250 Hz，齿槽频率低于带宽时，控制器看得见、也跟着补，但补偿电流会激发结构共振；高于带宽时，控制器干脆看不见，齿槽转矩直接作用在机械结构上。

阶次不是越高越好。分数槽集中绕组的阶次由槽极配合定死，12 槽 10 极的 60 阶、9 槽 8 极的 72 阶都属低阶，齿槽幅值天然偏大；24 槽 22 极的 264 阶把周期切得更碎，单周期能量低，幅值才降到 1%。代价是绕组系数从 0.933 掉到 0.87，同转矩下铜损增加 15%。

制造偏差会把理论阶次打乱。磁钢充磁角偏差 0.5 度、气隙偏心 0.05 mm，都会在低阶上引入新分量；实测频谱里，264 阶主峰旁边常出现 24 阶与 48 阶边带，幅值占主峰三成。这批低阶分量不受磁路优化影响，只能靠工艺控制。

阶次还决定共振风险。264 阶在 3000 r/min 时是 13.2 kHz，已经接近电流环采样频率的一半；60 阶在同样转速下只有 3 kHz，正好落在电流环带宽内被放大。选高阶不只为降幅值，也为把干扰推离控制带宽。

折算到末端还剩多少

按公开参数测算。假设关节结构刚度 1e4 N·m/rad，臂长 800 mm，齿槽转矩折算到输出为 T_out，则末端位移等于 T_out 除以刚度再乘臂长，即 (T_out / 1e4) × 0.8 m。取 24 槽 22 极的 14 N·m，得 1.4 mrad，即 0.080°，末端 1.1 mm。

这台关节的扰动预算是 5 N·m，对应末端 0.39 mm，占总定位预算 0.5 mm 的八成。1.1 mm 超出预算 1.8 倍，抖动已经不是精度问题，是能不能用在协作场景的问题。

关节刚度的实测值分散很大。同规格谐波减速器，新机 1.2e4 N·m/rad，跑过 2000 h 后柔轮磨损，刚度掉到 0.8e4，同样的 14 N·m 会让末端抖动从 1.1 mm 涨到 1.7 mm。按新机刚度算余量，等于把寿命末期的抖动留给现场。

图 2　六种槽极配合的齿槽转矩折算到关节输出（自行绘制，据公开参数测算重绘，非原文原图复制）

把六种常见配合放进同一套参数里，输出纹波的差距远大于齿槽幅值的差距。12 槽 10 极的齿槽幅值 2.5%，48 槽 46 极只有 0.5%，幅值差 5 倍；折算到输出是 35 N·m 对 7 N·m，差 5 倍。而 9 槽 8 极的阶次 72 只比 60 高一点，幅值却到 3.0%，输出 42 N·m 垫底。

表注：电机额定 20 N·m、减速比 100:1、传动效率 0.7、关节刚度 1e4 N·m/rad、臂长 800 mm 统一口径；末端抖动按 T_out 除以刚度再乘臂长折算。

低速时控制器补不动

失效场景。一台协作臂在 5 r/min 爬行示教时，末端出现 0.3 mm 的阶跃式抖动，周期约 45 ms。现象是轨迹速度曲线呈台阶状，示教器上能看到明显的顿挫。

原因是 5 r/min 时齿槽频率只有 22 Hz，远低于 200 Hz 的速度环带宽，控制器把它当作速度误差去补偿，补偿电流的幅值按 14 N·m 折算需要 3.5 A；这股电流的谐波又落在机械臂一阶共振 45 Hz 附近，形成正反馈。处置是把速度环带宽降到 30 Hz，再加 22 Hz 与 45 Hz 两个陷波滤波器，代价是阶跃响应时间从 80 ms 拉长到 210 ms。

编码器的分辨率不是这里的原因。19 位编码器在电机轴上的分辨力是 0.00069 度，经 100:1 减速后在输出端是 0.0000069 度，比 0.080 度的抖动幅值小四个数量级。抖动来自转矩，不来自反馈，换更高位数的编码器没有用。

示教时操作者感到末端在"跳"，是 stick-slip 的典型特征：静摩擦把关节锁住，齿槽转矩累积到超过静摩擦上限才释放，一放就是一格。这个 45 毫秒的周期正好对应 22 Hz，与 5 r/min 下的齿槽频率完全吻合。

独到分析：提阶次不如降减速比

齿槽阶次不是抖动的第一杠杆，减速比才是。通行说法是"提高齿槽阶次就能解决低速抖动"，这个结论在减速比小于 50 时成立，在 100:1 的关节上不成立。阶次从 72 提到 264，只把输出纹波从 42 N·m 压到 14 N·m，仍是预算的 2.8 倍；阶次提高带来的是频率上移，幅值只降了 2.4 倍，而减速比才是线性杠杆。

把减速比从 100 降到 50，同样的 24 槽 22 极电机，输出纹波从 14 N·m 直接变 7 N·m，不需要改磁路、不需要斜极、不损失反电势。代价是同样输出转矩下电机转矩要翻倍，电机体积增加约 60%。真正可被证伪的边界在这里：当减速比大于 80、且末端预算优于 0.5 mm 时，靠阶次优化无法达标，必须动减速比或动磁路。

选型案例与判据

按以下约束走一遍选型。协作臂肩关节，额定 20 N·m、峰值 60 N·m，减速比候选 50:1 与 100:1，速度环带宽 200 Hz，末端定位预算 0.5 mm（臂长 800 mm），单套成本上限 1800 元。

候选三个：A 24 槽 22 极直极配 100:1 谐波；B 12 槽 10 极配 100:1 谐波，成本最低；C 24 槽 22 极斜极 5 度配 100:1 谐波。

逐项对比：输出纹波 A 14.0 N·m、B 35.0 N·m、C 4.9 N·m；末端抖动 A 1.1 mm、B 2.8 mm、C 0.39 mm；反电势基波 A 100%、B 96%、C 95.5%；成本 A 1650 元、B 1480 元、C 1790 元。

选定 C。4.9 N·m 落在 5 N·m 预算内，配一个 22 Hz 陷波就能把残余抖动压到 0.08 mm；B 便宜 310 元，但 2.8 mm 的抖动让它无法进入这一档定位等级，省下的钱要用来加二次编码器，反而更贵。

代价与风险：斜极让反电势基波降 4.5%，同转矩下铁芯要加长 8 mm，关节轴向尺寸增加；斜极磁钢的装配工时多 12%，小批量时成本还会上浮 5%。斜极角度超过 7 度后齿槽改善趋平，5 度是成本与效果的拐点。

判据。如果关节减速比大于 80 且末端预算优于 0.5 mm，就把齿槽转矩压到额定的 0.35% 以下，代价是反电势降 4.5%、铁芯加长 8 mm；减速比低于 50 时不必动磁路，先算阶次够不够。

一句话　齿槽转矩的幅值要乘减速比才是关节看到的扰动，阶次只决定这个扰动落在控制器带宽的哪一侧。

文献依据：Harmonic Order Analysis of Cogging Torque for Interior Permanent Magnet Synchronous Motor Considering Manufacturing Disturbances

文献标题：Harmonic Order Analysis of Cogging Torque for Interior Permanent Magnet Synchronous Motor Considering Manufacturing Disturbances

作者：Chung-Seong Lee, Hae-Joong Kim

期刊卷期：Energies, 2022, 15(7): 2428

DOI：10.3390/en15072428（CC BY 4.0）

第二来源：Cogging Torque Reduction Techniques in Axial Flux Permanent Magnet Machines: A Review. Energies, 2024, 17(5): 1089. DOI: 10.3390/en17051089

配图说明：图 1 为原理示意，图 2 据表内测算数据绘制，均为自行绘制，非原文原图复制

改动声明：基于开放获取文献的独立解读，标题、结构、行文、表格、案例与配图为原创

来源：21ic电子网