串联弹性关节的力控带宽到底卡在哪

用弹簧刚度除以负载惯量再开方来估力控带宽，在 90 牛米峰值力矩下会把结果说高三倍。一台 100 比 1 谐波减速、转子惯量 0.00002 千克平方米的关节，弹簧刚度 1600 牛米每弧度，谐振带宽算出来 28.5 赫兹，实际只有 10.1 赫兹。先撞墙的是电机能给出的角加速度。

一句话答案 弹簧谐振只是上限，电机转子惯量与峰值转矩的比值决定了实际带宽；输出 90 牛米时只能给出 225 弧度每二次方秒，带宽被压到 10 赫兹。

带宽公式只算了一半

串联弹性驱动器（Series Elastic Actuator，SEA）是指在电机与负载之间串入一个已知刚度的弹性元件，用弹性元件的形变反推力矩。它的力控带宽常按弹簧谐振频率估：根号下刚度除负载惯量，再除 2 派。

这条式子的来历是小信号模型。把弹簧看成理想弹簧，把负载看成集中惯量，两者构成一个二阶系统，谐振频率就是那个根号，阻尼比通常在 0.1 到 0.3 之间。这套框架 1995 年提出，三十年后报带宽的方式几乎没变。

按这条式子，刚度越高带宽越高，似乎只要把弹簧做硬就能提速。问题在于小信号假设在力控里不成立，力矩指令一动就是几十牛米的阶跃。

弹簧要被压缩三十度，电机就得真转三十度。中间隔着减速器、转子惯量和驱动器的电流环，这些环节都不在小信号模型里。

弹簧在这里还兼着传感器。力矩不是测出来的，是用刚度乘形变算出来的，所以弹簧的刚度误差会一比一变成力矩误差。位置控制里没有这一层，这也是力控比位置控难做的原因之一。

电机先撞上加速度墙

结论是：在额定与峰值力矩下，带宽由电机能给出的角加速度决定，不由弹簧谐振决定。

按公开参数测算。以 100 比 1 谐波减速、峰值转矩 0.45 牛米、转子惯量 0.00002 千克平方米为例，折算到输出端的惯量是 0.2 千克平方米，峰值力矩折算 45 牛米，最大角加速度 225 弧度每二次方秒。

要让输出力矩按频率 f 摆动，弹簧形变幅度是力矩除刚度，所需角加速度是 2 派 f 的平方乘形变。把它压在 225 以内，反解出带宽上限：根号下角加速度乘刚度除力矩，再除 2 派。

还有减速器的效率。谐波减速器在 70% 到 85% 之间，0.45 牛米的电机转矩传到输出只剩 0.32 到 0.38，角加速度从 225 掉到 160 到 190。表格里用的是理想值，实际带宽还要再低 15%。

电流环还有一层限制。2 千赫兹的电流环让力矩上升时间约 0.5 毫秒，对应 700 赫兹，比上面算出的十几赫兹高两个量级，所以电流环不是瓶颈，先撞墙的确实是机械端的加速度。

图 1　串联弹性关节的力矩传递路径，电机经减速器压缩弹簧，弹簧形变由编码器读出后反推输出力矩（自行绘制，为原理示意，非原文原图复制）

储能和带宽锁在一个乘积里

把两条式子相乘，刚度会被消掉。碰撞储能等于力矩平方除二倍刚度，带宽平方正比于刚度，两者相乘只剩角加速度乘力矩除 8 派平方。

本例这个乘积是 256 焦耳赫兹平方。要 12 赫兹带宽，储能最多 1.78 焦耳；要 2 焦耳储能，带宽最多 11.3 赫兹。两个指标不能同时抬，换弹簧刚度只是在乘积线上滑动。

这条守恒关系解释了为什么调刚度总有一头不满意。要真正同时改善，只能提高角加速度乘力矩这个乘积，也就是换转子惯量更小的电机，或者加一级减速把惯量折算比拉大。

乘积的单位是焦耳赫兹平方，物理含义是单位质量下的冲击承受能力。它跟控制器无关，跟算法无关，只跟电机与减速器的组合有关，选型阶段就该算出来。

限幅是唯一能改乘积走向的手段，但它改的是储能那一头。峰值从 90 牛米削到 45，储能降四倍，带宽不变，等于把乘积线整体下移。要往上移，只能换电机。

图 2　刚度从 100 到 102400 牛米每弧度时，弹簧谐振带宽、电机限带宽与碰撞储能的变化，虚线为 90 牛米工作点（自行绘制，按本文测算数据重绘）

表注：负载惯量取 0.05 千克平方米，电机折算惯量 0.2 千克平方米，最大角加速度 225 弧度每二次方秒；弹簧谐振带宽即根号下刚度除负载惯量再除 2 派，电机限带宽为根号下角加速度乘刚度除力矩再除 2 派；判定列以 12 赫兹带宽与 2 焦耳储能同时满足为准。

按 30 牛米关节走一遍选型

按以下约束走一遍选型。协作机械臂肩关节，额定 30 牛米、峰值 90 牛米，要求力控带宽 12 赫兹、碰撞储能不低于 2 焦耳，弹簧最大形变不超过 4 度，关节外径 90 毫米。

候选三个刚度档：400、1600、6400 牛米每弧度。400 那一档在峰值下要转 12.9 度，超出形变限制，直接出局；剩下两档各有短板。

候选里原本还有一档 25600，峰值形变 0.2 度，储能 0.16 焦耳，等于没有柔顺，一并排除。剩下的差别只在带宽与储能怎么分。

逐项对比见上表：峰值形变 12.9、3.2、0.81 度；电机限带宽 5.0、10.1、20.1 赫兹；碰撞储能 10.1、2.53、0.63 焦耳；力矩分辨率按 18 位输出编码器折算 0.010、0.038、0.153 牛米。

三个候选没有一个是全达标。400 和 1600 的带宽不够，6400 的储能不够。

选定 6400 加一条软件限幅：碰撞时靠力矩上升率限制把峰值削到 45 牛米，储能降到 0.16 焦耳，靠外层包覆吸收剩下的冲击。代价是响应变慢一档，且包覆件要按 45 牛米校核。

三个候选共用同一台电机。若允许换电机，把角加速度乘力矩抬 12%，12 赫兹与 2 焦耳就能同时满足，代价是电机成本涨四成。

位数买到的是分辨率，迟滞才是零位误差

18 位输出编码器的角分辨率是 2.4 乘 10 的负 5 次方弧度，乘 6400 牛米每弧度得 0.153 牛米。再往上加到 20 位，分辨率降到 0.038，但迟滞没动。

迟滞来自两处：弹簧钢的内耗，和导向套的干摩擦。商用 SEA 的迟滞在 0.3% 到 0.8% 满量程之间，90 牛米上是 0.27 到 0.72 牛米，比编码器分辨率大 2 到 5 倍。

所以零位误差的主项不是位数。多花在编码器上的钱，不如花在导向套的材料上，或者把弹簧改成片簧叠压，把内耗压下去。

温度是另一个被忽略的项。弹簧钢的剪切模量每开掉 0.03%，40 开温升对应 1.2% 的刚度下降，带宽只变 0.6%，可以忽略；但预紧力随温度变化会让零位漂 0.2 牛米，这个不能忽略。处置办法是在导向套里加一圈碟簧做预紧补偿，让预紧力随温升掉的那部分由碟簧补回来，代价是轴向长度多 4 毫米。

什么时候才轮到弹簧

行内用谐振频率报 SEA 带宽，隐含假设是电机能无限快地压缩弹簧。这个假设只在轻载下成立。

把两条带宽式子相等，解出的分界力矩是角加速度乘负载惯量，本例 11.25 牛米，只有峰值的 12.5%。若输出力矩低于这条线，瓶颈在弹簧；若高于这条线，瓶颈在电机。

换句话说，机器人真正干活的力矩区间里，报出来的 28.5 赫兹一次也用不上。可证伪的检验很直接：在 50% 峰值力矩下测一次阶跃响应，若带宽仍接近谐振频率，说明电机惯量被低估了。

这也解释了为什么很多团队放弃弹簧测力，改用关节处的应变片或电机电流估算。电流估算的带宽能到 500 赫兹，代价是摩擦与齿槽转矩全算进力矩，低速时误差能到 15%。

测试方法也要跟着改。按 100 赫兹正弦扫频测出来的带宽反映的是小信号特性，力控真正关心的是阶跃响应的上升时间与超调，两者在大信号下能差三倍以上。

一句话 弹簧刚度只决定形变和储能，带宽真正的主语是电机的角加速度。

文献依据：开放获取文献的独立解读

文献标题：Generalization of Series Elastic Actuator Configurations and Dynamic Behavior Comparison

作者：Chan Lee、Suhui Kwak、Jihoo Kwak、Sehoon Oh

期刊卷期：Actuators，2017 年，第 6 卷第 3 期，文章号 26

DOI：10.3390/act6030026

第二来源：Actuators，2023 年，第 12 卷第 10 期，文章号 378，DOI 10.3390/act12100378

配图说明：图 1 为自行绘制的力矩传递路径示意；图 2 为自行绘制，按本文测算数据重绘，非原文原图复制

改动声明：基于开放获取文献的独立解读，标题、结构、行文、表格、案例与配图为原创

来源：21ic电子网