基于Toeplitz方程的改进广义预测PID控制

引言

PID控制技术是目前应用最广泛的控制技术，PID控制是一种应用历史悠久、工业界比较熟悉的简单控制算法。自1992年Hagglund提出预测PI控制器（Hagglund，1992）的思想以来，预测PID算法得到了逐步的发展和完善，并成功的应用在一些复杂对象的控制上。控制理论由于它产生的巨大经济效益吸引了越来越多的关注，大量的先进控制算法应用在纷繁复杂的工业过程中，也缩小了理论和实践之间的差距。

预测算法和PID结合在一起的控制器。PID控制器和过程的滞后时间无关，而预测控制主要依赖过程的滞后时间，根据以前的控制作用，来给出现在的控制作用。而这种PID控制算法将PID的简单性、实用性、鲁棒性和模型预测控制算法的预测功能有机的结合起来了。

本文运用Toeplitz方程求解丟潘图方程，减少了预测控制计算负担，缩短了预测控制器在线优化时间，同时解决了系统时滞引起的控制问题，整定了PID控制参数，达到了预期的效果。

问题的提出

近几十年来，控制理论由于它产生的巨大经济效益吸引了越来越多的关注，大量的先进控制算法应用在纷繁复杂的工业过程中，也缩小了理论和实践之间的差距。另一方面，传统的PID控制器，由于其简单稳定易操作的特性，仍然在控制市场占有相当大的使用份额。所以在现今全球竞争日益激烈的市场环境下，通过先进控制改进传统的控制器，优化传统的控制方法来获取经济效益提高企业竞争力，已成为一种趋势。

但是复杂工业过程存在着难于建模、关联复杂、对象结构与参数时变、干扰与环境不确定、要求与约束多样性等特点，传统的最优控制基于对象的精确数学模型，它在工业环境中并不适用，这已为工业过程的实践所证实，基于优化的控制显然优于单纯调节。所以就带来了问题：如何以合适的方式将优化结合到动态控制中，形成适应于复杂工业过程的优化控制模式，预测控制就满足了这点要求。

本研究课题将广义预测控制和经典PID控制方法相结合，用预测优化原理解决大时滞系统的控制难题。通过对Diophantine方程快速求解，避免了传统GPC算法中递推求解Diophantine方程的繁杂过程。

基于Toeplitz方法改进的GPC

2.1GPC的基本表达

首先，性能指标J函数表达如下:

（1）

其中,e(i)是对象输出和参考平滑曲线之间的误差，即。N是预测时域，M是控制时域。是控制加权常数。

可以把以上方程写成向量形式：

（2）

其中，是预测输出误差向量，Y是未来输出向量，是未来控制增益向量。

2.2介绍Toeplitz方程

给定一个单输入单输出被控对象传递函数模型：

（3）

其中，和是差分后移算子的多项式：

      （4）（5）



引入增益模型:

（6）

其中,

引入卷积矩阵和汉克尔矩阵,



其中,

所以根据和的定义式可以将式改写成：

（7）


同理，式子右边也可以进行变换，最后得到：



PID参数设计

3.1广义预测模型描述

广义预测控制采用如下离散差分方程描述，也即CARIMA模型：

（12）

使用如下的Diophantine方程



3.2PID和GPC的结合

PID控制的具体算法为：它根据给定值r(t)与实际输出值y(t)构成控制偏差，然后将偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D)通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，如下式所示：



（23）

实验仿真及结果分析

选择一个仿真模型，如下：

运用同样的参数，传统PID算法和改进的GPC-PID算法仿真结果如下图表示。其中，红色曲线代表传统PID算法，蓝色曲线代表改进的GPC-PID算法。



图1-控制输出

从图1中可以看出本文使用的GPC-PID预测算法比传统的PID控制器更加平滑,新的预测算法所需用的时间比传统算法更快达到稳定，基于Toeplitz的矩阵很好的展现了这一特性，节省了在线计算的时间，而传统算法则不具备这一优点。

表格1-计算时间比较

从这个表格中可以看出改进的GPC-PID算法所用时间更短，并且输出的波动明显降低。改进算法在线计算时间更短，很好的减少在线求解丟潘图方程的复杂程度,减轻了系统的负担。最后的曲线也更加平滑，达到了预期效果。

结语

PID控制技术是目前应用最广泛的控制技术，本课题在保证经典PID控制性能发挥其简单实用长处的基础上，根据滚动优化原理整定PID控制参数。所提出方法，避免了已有预测PID控制方法需要递推求解Diophantine方程的弱点，提高了预测PID算法的运行速度，从而也拓宽了算法的工程应用范围。