基于载流导线循迹智能车的数学模型

 地面上铺设载流导线，通以一定频率和幅值的周期性交变电流，作为引导智能车行进的迹线。用大电感作为传感器，配以一定的电路，获得相应的电压。这是一种较新的循迹方式，在第五届“飞思卡尔”杯全国大学生智能车竞赛上出现。目前有两种主要的迹线信息解算方法，一是通过整流滤波之后查表，使电压与距离对应;二是用一排密集电感作为传感器，靠近迹线的电感显高电压，远离迹线的显低电压。由于大赛之前尚无精确的数学模型求解迹线信息，本文将试图向这方面努力。

        1.传感器排布与赛道信息解算的数学模型
　假设载流导线无限长直，电流为 。不妨假设电感为理想电感，即空间尺寸可忽略不计，电感铁芯工作在线性区^[1]。

　　空间一点某一方向上的磁感应强度为，由毕奥--萨伐尔定律^[2]得，其中由空间位置决定，。不妨将称为空间函数，电感不同的放置方式，对应不同的。若迹线为无限长直的导线，则相同的电感放置方式下，的表达式不变。

　　设为电感的开路感应电动势，由法拉第电磁感应定律^[3]得： ，其中由电感的参数决定，是常数。

　　将进行拉氏变换得，其中，

　　将进行拉氏变换得，其中 。

　　将电感到A/D转换之间的电路设计为线性时不变系统，设其传递函数，则

　　在小车起跑前测得 ••••••(1)

　　在小车起跑后测得••••••(2)

　　式(2)除以(1)得

　　发现电路的传递函数和电流等与空间函数无关的项都被消去了。对于不同的电感排布方式，只要先得出空间函数，然后运用该方法就能得出其对应的迹线信息解算表达式。这也正是本文要做的工作。为方便起见，将该方法称为“法一”。

　　这种方法有几个优点：一是表达式与电路传递函数无关，即与电路无关，这就使得电路设计从理论上讲极其简单，只需满足线性时不变;二是表达式与赛道电流无关，这就使得该方法推导的模型从理论上讲具有极强的适应性;三是该方法推导的模型运用起来简单高效。

1.1 双一电感测距

　如图1，两电感A和B水平放置，二者轴线与x轴平行，相距，离地高度。记。下面将用到文献[4]的方法，以避免开根号。

　　A电感的变量用下标A表示，B电感的变量用下标B表示。为了方便运用法一，不妨令。

　　显然 , 易得 ,

　　那么，其中

　　不妨假设较小，可以忽略。则••••••(3)

　　同理得 ，其中 ••••••(4)

　　••••••(5)

　　联立(3)、(4)、(5)，解得。注意是有正负的。

　　实验数据如表1。所有单位均为标准点位，电压是示波器读取的峰峰值，误差是未取绝对值的相对误差。

结论：除第二组外，其他组的误差都小于10%，大部分小于5%，且与赛道无明显关系。说明该数学模型正确，同时也佐证了法1.1的正确性。