二极管PN结中的玻尔兹曼常数
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■ 前言
在网文 「An Electronic Mesurement of the Boltzmann's Constant Using I-V Characterisctic of a Silicon 2N2309 Diode」[1] 中介绍了使用三极管2N3094来测量 「Boltzmann Constant」 的方法。
由于这个方法简便易行，所使用的设备也是大多数电子实验室都具备，所以称为很多电子类课程中，学生喜欢做的电子实验。
玻尔兹曼常数（Boltzmann constant），通常使用 表示，是指有关于温度及能量的一个物理常数。玻尔兹曼是一位奥地利物理学家，在统计力学的理论有重大贡献，玻尔兹曼常数具有相当重要的地位。
01实验及数据分析
1.基于2N3904的Boltzmann常数
在PN结两边，存在一个由电子-空穴扩散而形成的耗散区，以及伴随着的接触电位 区，只有热量动能超过 的电子才能够从n型区域穿越到p型区域。根据统计力学原理，处在热平衡下电子的动能分布遵循 「玻尔兹曼分布」[2] 。具有能量为 的概率为：
其中 是漂移电流， 是比例常数， 是温度， 是玻尔兹曼常数。
这股漂移电流在耗散区建立一个电场 。到外部电压 施加在PN结，产生电场 ，产生电流：
这样，外部总电流为：
在推文开始提到的文章中，使用 「2N3904」[3] 测试二极管的I-V特性。对于2N23904的电流放大和转换，选择了 「LF356」 运放进行I-V转换。LF356的偏置电压为10mA和偏置电流为30pA。
下面是实验所使用的电路图。根据「Measurement of Boltzmann's constant」[4] 文献中描述，测量A，B两点的电压，便可以建立起 的发射结对应的电压与电流之间的关系。
后级的 「LF351」[5] 组成电流-电压转换电路，根据电路中的参数，B点的电压与流经 集电极电流之间的关系为： 。
在实验中，使用「DP1308可编程直流电源」[6]的-25V输出电压串联一个10kΩ电阻做为A点给定电源。使用「FLUKE45」测量A点电位，使用「DM3068」 位数字万用表测量B点的电压并自动记录。
2. 测量数据分析
设置数字直流电源DP1308输出电压从**-0.2到-10V**，同时测量A,B两点的电压变化，并换算成PN结的电压-电流关系，绘制如下。
利用模型（3）匹配上述测量数据，将模式简化成下带有参数[a,b,c]的指数函数关系，利用前面测量的PN结I-V数据，使用SCIPY.OPTIMIZE中的curve_fit函数进行函数拟合，获得参数[a,b,c]的数值。
测量参数为：
a=2.33332986e-11
b=3.79731168e+01
c=8.85188988e-03
由模式(3)可以知道，参数b与Boltzmann常数之间的关系：
将常数e, T = 300(27摄氏度)代入上面公式，可以得到:
这个数值比现在测到得到精确的Botlzmann常数大了1.9%左右。在上述时间条件下，这个数值非常精确了。
3. 基于NPN 8050测试Boltzmann常数
将前面所使用的三极管2N3904更换成另外一款NPN性的硅三极管8050，使用相同的测试方案完成8050的b-e结的电压-电流测试，所得到的数据曲线如下：
使用相同的方法进行建模，并计算参数：
这个数值比精确Boltzmann常数大了3.29%。
4. 将2N3904的C.E对换测量
测量三级管b-c之间的PN结的电压与电流曲线。在上述实验中将2N3904的c，e管脚互换，测量得到的PN结电流-电压曲线如下：
这个结果比精确Boltzmann常数大了14.2%。
5. 只使用2N3904的b-e的PN结进行测量
根据测量的电压电流曲线，可以得到对应的模型参数和Boltzmann常数如下：
这个数值比起精确的Boltzmann常数的数值高了78.1%。
02二极管的分段特性对结果的影响
在博文 「二极管极低电流I-V特性测量」[7] 中，给出了二极管PN结的分段指数特性，即模型（3）中的电流 在不同的前向电流的情况下取值是不同相同，这个变化也会导致测量的Boltzmann常数发生变化。
在实验[02-1]中，选择不同测量数据的来拟合估算Boltzmann常数会产生一定的变化。下面选择2N3904测量数据中，从数据编号n=10（对应电流：0.06mA）开始，结束数据编号n从50变化到100，使用模型（3）计算相应的Boltzmann常数，对应的误差曲线如下：
从数值计算结果来看，使用前面数据测量范围（10~78），对应电流（0.06mA变化到0.7mA）时，测到得到的Boltzmann的误差最小。
※ 结论
1.PN测量不同方案比较
使用相同的PN结的模型，对于四种不同的方案测量了Boltzmann常数，其中包括有两种不同型号硅NPN双极性三极管，三极管的b-e,b-c结的测量，以及直接测量b-e的PN结电压电流的情况。
| 序号 | 方法描述 | Boltzmann常数 | 误差(%) |
|---|---|---|---|
| 1 | 2N3904的b-e的PN结 | 1.406e-23 | 1.87% |
| 2 | 8050的b-e的PN结 | 1.426e-23 | 3.29% |
| 3 | 2N3904的b-c的PN结 | 1.577e-23 | 14.24% |
| 4 | 2N3904的b-e的PN结 直接测量 | 2.459e-23 | 78.09% |
通过前面的实验，可以看到使用2N3904基极接地的配置，测量的结果误差最小。更换NPN晶体管为8050，测量的结果偏大一些。如果将2N3904的C,E极进行对换，虽然从晶体管的结构上是对称的，但是结果误差更大。
由于PN结电压-电流模型中的参数随着电流不同，导致PN结附近半导体内部的电子与空闲运动模式变化，从而使得模型参数也发生变化。所以使用不同电流范围数据，测量数的Boltzmann的数据有所变化
2.参考文献
-
「Measurement of Boltzmann's constant」 [4] . Phys. Educ. 20 1996. Printed in Great Britain.
Reference
「An Electronic Mesurement of the Boltzmann's Constant Using I-V Characterisctic of a Silicon 2N2309 Diode」: http://physics.sfsu.edu/~skann/diodexp.pdf
[2]「玻尔兹曼分布」: https://casper.ssl.berkeley.edu/astrobaki/index.php/Boltzmann_distribution
[3]「2N3904」: https://www.onsemi.com/pub/Collateral/2N3903-D.PDF
[4]「Measurement of Boltzmann's constant」: http://pleclair.ua.edu/PH255/papers/Planck-Boltzmann/measure_e-k-2.pdf
[5]「LF351」: https://www.st.com/resource/en/datasheet/lf351.pdf
[6]「DP1308可编程直流电源」: https://img-blog.csdnimg.cn/20200705090742480.png
[7]「二极管极低电流I-V特性测量」: https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/107069657
公众号留言
卓大大，我有几个问题想请教您。
(1) 信标大部分队伍用的264和少部分学校使用的1064性能实在差距有点大。1064可以支持两个彩摄 264只能支持一个灰度摄像头 这样在避障和近距离切灯的时候差距太明显了 ；
(2) openmv本来就是1064支持下彩摄的替补方案，如果openmv都只能用一个的话，那国赛时有的队伍1064双彩摄是不是失去平衡了；
(3) 室外场地的大致场景还没有给出来，室内回声+电机噪声基本上就是让声音处理废了。现在最多就是静止精确定位，一跑就是瞎比冲。
这样高难度的信标真的让人很难受 希望卓大大能考虑和给出一些意见措施，万分感谢。
回复：的确，如果问题都太容易了，也就没有意思了。工程实践能力的提高往往是在解决问题中提高的。否则，就只要呆在课堂上就可以解决工程问题了。
由于管控限制使得少部分学校只能使用RT1064核心板，从而产生与TriCore264之间的差异。这一点竞赛组委会将会在后面奖项设置与评比中进行“酌情”考虑。
卓大大，我想问一下，电磁ai组，里边的运放模块，还有电感的安装板都需要自己画嘛？麻烦老师啦。
回复：AI电磁组的传感器以及信号处理电路板必须自己设计制作。不允许购买成品电路板。
老师，我想问一下，报名截止日期是7.10号，那么是不是说每个学校所有队伍都可以先报名？那么每个学校出赛的名单是学校再上交的吗？
回复：竞赛预报名的截止日期是7.10日。如果学校在部分组别中的队伍数量超过规则要求的（一支队伍）限制，那么之后会给出统计，并要求报名队伍进行相互协商确定最终参赛队员信息。最终确定信息的时间范围将会定在8月初。
卓老师您好，请问电磁AI可以不采用官方提供的神经网络部署方法和部署工具吗，我们是用自己的方法部署的。遴选的时候会不会要求必须使用官方部署方法和工具，不采用的话会不会影响遴选结果？
回复：电磁AI组，没有限定神经网络部署方法和工具，同学们可以自行选择自己熟悉的AI工具。
卓老师，我看留言中说的华南赛分成两个阶段，那么报名截止时间还是10号吗，您之前说的报名截止时间会延长，希望能早点公布这个延长的消息，要不然如果不延长的话到时候又赶不上报名了。
回复：现在是竞赛预报名阶段，截止日期7月10日，主要是为了统计现在各分赛区可能参赛队伍的数量。由于今年比赛计划在8月中旬，所以最终参赛队伍信息截止时间将会放宽到8月初。
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