有关优化声子晶体带隙设计的仿真研究

声子晶体是什么?

声子晶体是一种人工制造的结构或材料，可对其周期性结构或几何属性进行设计，以此影响机械波的传播特性。设计制造声子晶体时，人们能够在特定的频率范围内隔离振动。特定频率范围内，也称为带隙，带隙内的振动会因受到周期性结构内波干涉的影响而衰减。这一行为与一种更广为人知的纳米结构相似，这一纳米结构便是半导体应用中光子晶体。

优化声子晶体带隙是一项具有挑战性的任务。我们 Veryst 工程公司的研究人员发现 COMSOL Multiphysics 正是处理这类难题的宝贵工具。

建立声子带隙分析

要在周期性结构中创建带隙，一种方法是使用由坚硬的内核材料与柔软的外部基体材料构成的晶胞。其构型如下图所示。

晶胞示意图。晶胞由坚硬的内核材料与柔软的外部基体材料构成。

对声子晶体的频率响应进行计算，仅仅需要对周期性晶胞进行分析，及利用覆盖一定波矢范围的布洛赫周期性边界条件。相对较小范围的波矢即可覆盖所谓的不可约布里渊区(irreducible Brillouin zone，简称 IBZ)的边缘。在二维矩形结构中，IBZ(下图所示)从 Γ 沿着 X、M 后回到 Γ。

二维正方形周期性结构中的不可约布里渊区。

布洛赫边界条件(一维时又称 Floquet 周期性边界条件)可约束周期性结构的边界位移，表达式如下：

其中 kF 表示波矢。源端和目标端分别在晶胞的左右边缘和上下边缘各应用一次。此类型的边界条件可在 COMSOL Multiphysics 中获得。由于边界条件的性质，我们需要一个复杂的特征值求解。系统方程组属于厄密特矩阵，得出的特征值为实数，也就是假定模型是无阻尼的。COMSOL 软件能够自动运行计算，这一步骤因此变得轻松简单。

我们对特征值求解分析作参数化扫描，其中一个参数 k 的范围为 0 到 3。这里，0 到 1 定义为覆盖不可约布里渊区 Γ-X 边缘的波数，1 到 2 定义 为覆盖 X-M 边缘的波数，2 到 3 则定义为 M-Γ 边缘的波数。对于每一个参数，我们将求解最低价本征频率，然后绘制每一个 k 值时波的传播频率。绘图中的带隙代表其中不存在波传播的区域。暂且不论复杂的晶胞模型，完成分析只需几分钟时间。由此可以总结，如果你以特定的带隙位置为目标，或者想要使带隙宽度最大化，那么使用晶胞是一种高效的优化手段。

执行优化研究

为了清晰阐释这类应用，我们对上图的周期性结构进行了模拟，晶胞尺寸为 1 cm × 1 cm，内核材料为 4 mm × 4 mm;基体材料的模量为 2 GPa，密度为 1000 kg/m3;内核材料的模量则为 200 GPa，密度为 8000 kg/m3。下图显示 60 kHz和 72 kHz 之间禁止波传播的频率范围。

选定晶胞参数的频带示意图。

为了演示如何利用带隙概念实现隔振，我们将模拟上述周期性结构中的晶胞组成的“11 × 11”的晶格结构。这些晶胞承受的激励频率为 67.5 kHz(带隙中)。

该结构用于演示带隙中针对施加频率的隔振。

下方动画重点演示了晶胞结构的振动响应。通过结果，我们可以了解到周期性结构能够十分有效地将施加的振动与剩余结构隔离开。即使减少周期性晶胞的使用数量，仍然可以很有效地隔振。

率为 67.5 kHz 时,振动响应的动画。

请注意，当频率在带隙之外时，周期性结构不会隔振。此时的响应情况请参考下图。

带隙之外频率的振动响应。左图：27 kHz。右图：88 kHz。