了解 FFT 垂直缩放

添加到示波器或数字化仪的快速傅立叶变换 (FFT) 可以测量所采集信号的频域频谱。这提供了一个不同且通常有用的视角;信号可以被视为幅度或相位与频率的关系图(图 1)。

图 1 100 MHz 正弦波的幅度 FFT 是位于 100 MHz 处的单条谱线。脉冲幅度为 150 mV，与输入正弦波的峰值幅度匹配。

有许多因素会影响 FFT 垂直读数，包括输出类型的选择、FFT 处理问题、信号持续时间和非 FFT 仪器特性。本文将重点讨论这些问题。

FFT垂直输出格式

FFT 计算基于离散傅里叶变换 (DFT)，如下式所示：

其中：

X(k) = 频域点

x(n) = 时域样本

n = 时间样本索引

k = 频点索引

N = 记录中输入样本的数量

傅里叶变换的物理解释是输入样本 x(n) 通过乘以方程中复指数 e -jπkn/N表示的一系列正弦曲线来测试。在每个测试频率，对产品进行平均。仅当输入具有测试频率的能量时，结果才非零。

这是一个数学上复杂的方程，每个输出点都有两个元素。计算通常计算每个输出点的实部和虚部。根据计算出的实部和虚部 FFT 输出分量，可以以多种格式显示输出。

FFT 原生输出数据类型实部 (R) 和虚部 (I) 均以伏特为单位表示，所有其他格式均源自它们：

线性幅度(伏特)= (R 2 +I 2 ) 1/2

幅度平方(伏特2)= R 2 +I 2

相位(弧度)= TAN -1 (I/R)

功率谱(dBm) = 10*Log 10 {(R 2 +I 2 )/1 mW)}

功率谱密度(dBm/Hz) = 10*Log 10 {(R 2 +I 2 )/(1mW*Δf*ENBW)}

其中：

R = FFT 的实部

I = FFT 的虚部

Δf = 分辨率带宽

ENBW = 有效噪声带宽，取决于权重

不同的示波器供应商可能会提供这些 FFT 输出格式的各种组合，并且可能会以不同的方式缩放它们。在此示例中，基于Teledyne LeCroy 的 Maui Studio应用程序(该应用程序模拟了许多示波器)，FFT 可用这五种格式以及本机实数和虚数格式。

图 1 中显示的线性幅度格式按均方根值计算，但按比例缩放以将频谱幅度读取为峰值伏特，以便频谱线的峰值幅度与输入正弦波的峰值幅度相匹配。

功率谱格式刻度为对数，值以相对于毫瓦 (dBm) 的分贝为单位。功率谱密度将功率谱值归一化为有效分辨率带宽，使其值不随分析带宽的变化而变化。它以 dBm/Hz 为单位表示。

影响FFT垂直输出的FFT处理因素

FFT 产生的频谱是离散的;它仅在 k 个均匀间隔的频率值处具有有效的幅度数据。 FFT 输出的离散特性可能会在解释频谱幅度时造成一些混乱。您可能会认为 FFT 输出是输入通过一组带通滤波器的结果，这些带通滤波器的中心频率偏移固定的频率增量，有时被描述为 FFT bin 宽度或分辨率带宽。如果输入信号频率落在这些带通滤波器之一的中心，则输出端会显示完整的输出幅度。如果输入信号频率落在两个带通滤波器中心频率之间，则幅度会较低(图 2)。

FFT 的分辨率带宽是输入信号持续时间的倒数。在我们的示例中，输入时间信号的持续时间为 5 μs，分辨率带宽为 200 kHz。将输入频率精确设置为 50 MHz，使信号位于分辨率带宽的中心，并且频谱峰值的幅度为 150 mV。

图 2 FFT 输出的展开视图显示了输入频率以分辨率带宽一半的增量变化时的幅度响应。

将输入频率更改为 50.1 MHz 将两个滤波器之间的输入信号置于 50.0 MHz 和 50.2 MHz 之间。能量在两个滤波器之间分配，峰值幅度降至 95.6 mV，损失 3.9 dB。以 100 kHz 为增量步进频率，可以看到 FFT 输出幅度上升和下降。这称为“栅栏”效应或“扇贝”损失，它出现在所有 FFT 计算中。

当输入频率变化时出现的另一个问题可以通过查看图 3中的 FFT 基线更容易看出。除了较低的峰值幅度之外，在单元之间移动输入频率也会扩展并提高频谱基线。当频率为 50.0 MHz 时，输入波形的起始点和终止点(以黄色显示在左上网格中)处于同一电平，名义上为零伏。当输入频率为 50.1 MHz 时，如左下红色网格所示，起始点和终止点处于不同的级别。

FFT 计算是循环计算，最后一个点循环回第一个点，因此幅度值的变化看起来像是不连续的。这是角度调制的一种形式，由于调制边带而扩展频谱，并导致频谱基线在与受激单元相邻的频率单元中升高;这称为频谱泄漏。相邻单元中的任何信号都会与泄漏分量结合，从而改变该单元中的幅度。当相邻小区中的信号幅度较小时，这会导致最大误差。

图 3如果输入频率不是以单元为中心，则时间记录的第一个和最后一个点具有不同的幅度，并且能量会扩散或泄漏到相邻单元中，从而改变这些单元中的幅度。

这两种影响都可以通过对信号输入进行幅度调制来抵消，从而迫使端点为零幅度。这个过程称为加权，调制波形称为加权窗口。窗函数的形状决定了频谱响应，包括频谱线的形状和任何边带的幅度。常用加权函数的特点如表1所示。

表1常用FFT加权(窗)函数的特点

FFT窗函数特点

窗式最高旁瓣 (dB)扇贝损耗 (dB)有效噪声带宽(单元)相干增益(dB)

长方形(无)-133.921.000.0

冯·汉恩 (Hanning)-321.421.50-6.02

汉明-431.781.37-5.35

平顶-440.013.43-11.05

布莱克曼·哈里斯-671.131.71-7.53

该表总结了每个窗口最小化旁瓣和扇贝损失的能力。请注意，有效噪声带宽 (ENBW) 拓宽了 FFT 滤波器单元的宽度。细胞越宽，扇贝损失越少。图 2 所示的 3.9 dB 损耗(使用矩形加权)可以通过使用平顶加权降低至 0.01 dB。

另请注意，由于频谱泄漏，应用加权会降低旁瓣幅度。相干增益是应用加权函数时幅度的变化。大多数示波器供应商都会补偿这种衰减，以便更改所选的加权函数不会改变显示的信号幅度。

图 4显示了窗函数对同一输入信号的谱线产生的影响。

图 4加权窗口的选择会影响 FFT 单元频率响应的形状。较窄的窗口可产生更好的频率分辨率，而较宽的窗口可减少扇贝损耗和频谱泄漏。

谱线变宽，如 ENBW 所示。更广泛的响应减少了扇贝损失，这是有道理的，因为相邻单元中的信号将以更高的幅度重叠以获得更广泛的响应，从而最大限度地减少扇贝损失。加权函数还影响旁瓣的幅度。在没有加权的情况下，最高旁瓣比频谱峰值低 -13 dB。加权函数可通过 Blackman-Harris 加权函数将其降低至 -67 dB。

窗函数的选择取决于用户的需要。如果您测量的瞬态小于采集窗口，则不应使用窗函数，因为频谱峰值的幅度将根据瞬态在采集窗口中的位置而变化。在这种情况下，矩形窗口(无加权)是最佳选择。较窄的窗口响应可提供更好的频率分辨率，而较宽的响应(Blackman Harris 或平顶)可产生更准确的幅度测量。如果您两者都需要，那么冯汉恩或汉明加权是一个很好的折衷方案。大多数示波器使用 Von Hann 或 Hanning 加权作为默认加权窗口。

频率响应和幅度平坦度

影响 FFT 垂直输出电平的另一个问题是示波器或数字化仪前端的频率响应和幅度平坦度。请记住，信号幅度将在仪器带宽下衰减 1 或 3 dB，具体取决于制造商的带宽规格。此外，大多数供应商都有频率响应平坦度的规范。该值通常约为 0.25 至 1.0 dB。对于特定的设置，平坦度通常是可重复的并且可以校正。使用的任何探头也可能影响仪器的频率响应平坦度。

信号持续时间对 FFT 峰值幅度的影响

如果输入信号持续时间小于完整输入记录长度，它也会影响 FFT 的幅度。请记住，FFT 的线性幅度基本上是 rms 计算，预计幅度将与相对于输入记录长度的输入信号占空比成正比。图 5显示了对具有六个不同持续时间的信号的 FFT 峰值幅度响应。

图 5显示了信号持续时间对 FFT 峰值幅度响应的影响。

左上方网格中的 M1 迹线显示了 150 mV 峰值输入信号，填充了 500 ns 输入记录长度;这是参考信号。该网格下方是信号的 FFT，显示峰值幅度为 150 mV。迹线 M3(左栏下方的第三个网格)显示信号持续时间减少至 400 ns 或可用记录长度的 80%。该迹线下方是峰值幅度为 120 mV 的 FFT。信号持续时间是输入记录长度的 80%，峰值 FFT 响应是整个持续时间信号的 80%。信号持续时间以输入记录长度的 60%、40%、20% 和 10% 为步长减少，峰值 FFT 响应呈线性变化。

FFT 垂直或幅度响应受到许多因素的影响，在使用 FFT 时应牢记这些因素。它与输入信号电平成正比。输入信号链中频率响应变化引起的输入电平变化会导致 FFT 幅度响应变化。当信号不在 FFT 频率单元的中心时，输入信号的频率可能会导致由扇贝损耗和频谱泄漏产生的 FFT 幅度变化。这种效应与频率相关，并且可以通过使用加权来改善。最后，FFT 幅度响应受到相对于输入记录长度的信号持续时间的影响。