非均匀采样的理论基础

非均匀采样有很多种，一般来说只要采样间隔不是恒定的，就可以认为是非均匀采样，但是对于大多数非均匀采样其并不具有特别的性能。本案例研究的非均匀采样特指两种情况：随机采样和伪随机采样。随机采样中每个采样点的选择是完全随机的，是理想化的非均匀采样；伪随机采样中每个采样点的选择是经过挑选的伪随机数。非均匀采样的一个很大的优点就是它具有抗频率混叠的性能，从而可以突破奈奎斯特频率的限制，实现以比较低的采样频率检测到很高频率的信号。　　采样时刻的选择无疑是非常重要的，它决定了采样后得到的信号的性质。时钟抖动的均匀采样在工程实践中是普遍存在的，并且是不可避免的，例如ad时钟频率存在一定偏差。有抖动的均匀采样时刻{tk}，其数学表达式为：　　其中，t表示均匀采样的采样周期，{tk}为服从同分布的一组随机变量，其均值是0。设tk的概率密度函数为p(tk)，则采样时刻tk的概率密度函数为p(t－(tk-to))。　　时钟抖动的均匀采样明显存在很大的缺点。如果tk在区间[kt-0.5t,kt+0.5t]上不是均匀分布，则显然，在kt点附近采样点数很多，其他地方采样点很少。如果tk在区间[kt-0.5t,kt+0.5t]上满足均匀分布，则会发生某些相邻采样点间距很小的情况。对第一种情况，它和均匀采样区别很小，无法利用非均匀采样的优点；对第二种情况，在实际实现中会非常困难，以致无法实现，因为采样间距过小对ad的要求很高。显然，这两种情况都不是本案例所希望的。　　在加性非均匀采样中，当前采样时刻是根据前一个采样时刻来选择的，其数学表达式为：　　其中，{tk}为服从同分布的一组随机变量，其值恒为正。设tk的概率密度函数为pt(tk)其均值为u，由于tk＝t0+t1+t2+…+tk，故pk(t)=pk-1(t)*pt(t)。根据中心极限定理，对于一组相互独立随机变量，当随机变量的个数大到一定程度的时候，它们的总和服从正态分布，因此当k→∞时，pk（t）将趋向于正态分布。当t增加时，加性非均匀采样点的概率分布p（t）将趋向于平坦，其数值大小为l/μ，如图1所示。
　图1 加性非均匀采样点的概率分布　　由于采样时刻的分布与均匀采样中采样时刻的分布不同，非均匀采样具有一个非常重要的特点就是可以消除频率混叠现象，下例可以形象化地阐述这个问题。　　假设给出一组采样数据，它代表了一个正弦信号（加粗的黑色）的均匀采样值，如图2所示。
　图2 混叠的产生　　观察图2，就会清楚发现其他的频率的正弦信号和原始信号同一个采样点处的采样值相等（曲线交点处）。因此，如果 要用这组采样值进行重建原始信号，显然得到的信号不是惟一的。也就是说，用小于奈奎斯特频率的采样频率进行采样 ，得到的采样值是无法恢复出原始信号，这与shannon采样定理是相一致的。这种现象反映到频域上就是频率混叠。　　频率混叠现象就会引起信号的不确定，仔细看这些不同频率的正弦波，到底哪个才是真的需要的信号昵？在没有其他 先验知识的情况下，如何消除频率混叠现象是信号处理理论的一个重要研究课题。均匀采样理论中，在进行信号采样前 ，信号先通过一个低通滤波器以便把信号的频谱限制在一个特定的范围内，然后用高于信号最高频率两倍的采样频率进 行采样，从而消除了频率混叠。虽然这种解决混叠问题的方法能够满足要求，但是这种方法滤掉了信号组成成分中超过 某一频率的频率成分，很容易造成失真，同时由于采样频率要高于信号最高频率的两倍，极大限制了数字信号处理理论 使用的范围。如果能突破这个限制，将为数字信号处理理论开辟更为广泛的应用领域。所以摆在面前的问题就是在较低 采样频率的情况下，消除频率混叠是否可能？非均匀采样给出了肯定的回答。　　图3直观地说明了非均匀采样如何具有消除混叠的性能。
图3 消除混叠　　图3中对原始的低频正弦信号进行了重新采样，采样点的个数保持不变，所不同的地方是采样点的间隔不再是相等的了 。很容易从图3中看出，由于采样点不再是均匀的，只有原始的低频正弦波可以通过采样点，可以被拟合出来，从而也就 消除了频率混叠。　　非均匀采样信号的傅立叶变换和均匀采样信号的傅立叶变换的区别主要在于积分时间上的不同。