C++笔试题之求完全二叉树叶子节点数

一、树的定义

树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

树具有的特点有：

（1）每个结点有零个或多个子结点

（2）没有父节点的结点称为根节点

（3）每一个非根结点有且只有一个父节点

（4）除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树。

树的基本术语有：

若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的“双亲”，子树的根称为该结点的“孩子”。有相同双亲的结点互为“兄弟”。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。

结点的度：结点拥有的子树的数目

叶子结点：度为0的结点

分支结点：度不为0的结点

树的度：树中结点的最大的度

层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1

树的深度：树中结点的最大层次

森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。

二、二叉树

1、二叉树的定义

二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。

2、二叉树的性质

性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为2^i-1(i>=1)

性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k>=1）

性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为(log₂n)+1

性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀=n₂+1

3、性质4的证明

性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀=n₂+1

证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，不妨设n₀表示度为0的结点个数，n₁表示度为1的结点个数，n₂表示度为2的结点个数。三类结点加起来为总结点个数，于是便可得到：n=n₀+n₁+n₂ (1)

由度之间的关系（二叉树的各结点的总度数=结点数-1，这个很直观，比如只有3个结点的二叉树，总度数为2）可得第二个等式：n=n₀*0+n₁*1+n₂*2+1即n=n₁+2n₂+1 (2)

将（1）（2）组合在一起可得到n₀=n₂+1

三、满二叉树、完全二叉树和二叉查找树

1、满二叉树

定义：高度为h，并且由2^h-1个结点组成的二叉树，称为满二叉树

2、完全二叉树

定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下层的叶结点集中在靠左的若干位置上，这样的二叉树称为完全二叉树。

特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。

面试题：如果一个完全二叉树的结点总数为768个，求叶子结点的个数。

由二叉树的性质知：n₀=n₂+1，将之带入768=n₀+n₁+n₂中得：768=n₁+2n₂+1，因为完全二叉树度为1的结点个数要么为0，要么为1，那么就把n₁=0或者1都代入公式中，很容易发现n₁=1才符合条件。所以算出来n₂=383，所以叶子结点个数n₀=n₂+1=384。

总结规律：如果一棵完全二叉树的结点总数为n，那么叶子结点等于n/2（当n为偶数时）或者(n+1)/2（当n为奇数时）

3、二叉查找树

定义：二叉查找树又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x结点包含关键字key，结点x的key值计为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y]

在二叉查找树中：

（1）若任意结点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值。

（2）任意结点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。

（3）任意结点的左、右子树也分别为二叉查找树。

（4）没有键值相等的结点。

这里既然提到了二叉查找树，那么二叉查找树能够解决声明问题呢？

比如说,你想从微博中找到一个人，最快的方法一般是二分查找。但当有新用户增加时，都得将新用户插入组别内再排序。因为二分查找法只会有序的组别才有用。
因此有人想到了用二叉树。对于每个结点，左子节点的值都比它小，右子节点值都比它大。

如上图，MAGGIE排在DAVID后面，因此向右找，MAGGIE排在MANNING前面，因此向左找。这个运行时间，用大O表示法，平均运行时间是O(log2 N)，最差运行时间是O(N)在有序数组查找时，与二分查找法运行时间相同。二叉树对比二分查找法优势在于下图。

可以看出插入和删除速度都快。
二叉树的缺点是不能随机访问。