维纳滤波器

维纳滤波器(wiener filtering) 的本质是使估计误差(定义为期望响应与滤波器实际输出之差)均方值最小化。 [1] 离散时间维纳滤波理论是从维纳关于连续时间信号的线性最优滤波器这个开拓性工作演变过来的。维纳滤波器的重要性在于，它为广义平稳随机信号的线性滤波提供了一个参考框架.

随着自动化系统和自动控制理论的出现，对信息的研究开始突破原来仅限于传输方面的概念。美国数学家维纳在这个时期发表了著名的《控制论》和《平稳时间序列的外推、内插和平滑问题》，从控制的观点揭示了动物与机器的共同的信息与控制规律，研究了用滤波和预测等方法，从被噪声湮没了的信号中提取有用信息的信号处理问题，建立了维纳滤波理论。维纳滤波是利用平稳随机过程的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法，1942年美国科学家N.维纳为解决对空射击的控制问题所建立，是40年代在线性滤波理论方面所取得的最重要的成果。

维纳滤波器(Wiener filter)是由数学家维纳(Rorbert Wiener)提出的一种以最小平方为最优准则的线性滤波器。在一定的约束条件下，其输出与一给定函数(通常称为期望输出)的差的平方达到最小，通过数学运算最终可变为一个托布利兹方程的求解问题。维纳滤波器又被称为最小二乘滤波器或最小平方滤波器，是基本的滤波方法之一。

在数学中，平稳随机过程(Stationary random process)或者严平稳随机过程(Strictly-sense stationary random process)，又称狭义平稳过程。平稳随机过程是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程，即随机过程的统计特性不随时间的推移而变化，因此数学期望和方差这些参数不随时间和位置变化。

事实证明：如果一个平稳随机过程，只要满足一

(1)一个宽平稳过程不一定是严平稳过程，一个严平稳过程也不一定宽平稳过程 [3] 。例1：X(n)=sinwn，n=0,1,2，…，其中w服从U(0,2π)，随机过程{X(n),n=0,1,2，…}是宽平稳过程，但不是严平稳过程。例2：服从柯西分布的随机变量序列是严平稳随机过程，但不是宽平稳随机过程。(2)宽平稳过程定只涉及与一维、二维分布有关的数字特征，所以一个严平稳过程只要二阶矩存在，则必定是宽平稳过程。但反过来，一般是不成立的。(3)正态过程是一个重要特例，一个宽平稳的正态过程必定是严平稳的。这是因为：正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的，因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化，则概率密度函数也不随时间的推移发生变化。

些较宽的条件，则一个样本函数在整个时间轴上的平均值可以用来代替其集平均(统计平均值和自相关函数等)，这就是各态历经性。一般来说，在一个随机过程中，不同样本函数的时间平均值是不一定相同的，而集平均则是一定的。因此，一般的随机过程的时间平均≠集平均，只有平稳随机过程才有可能是具有各态历经性的。即各态历经的随机过程一定是平稳的，而平稳的随机过程则需要满足一定条件才是各态历经的。