如何使用奈奎斯特图来评估系统稳定性

1.前言

波特图是一种非常流行的确定动态系统稳定性的方法。然而，有时波特图并不是一个简单的稳定性指标。

图 1 显示了 TI 的 TPS40425 同步降压转换器的波特图。在此应用中，在降压转换器的输出端使用了一个 π 滤波器。

图 1：具有输出 π 滤波器的降压转换器的波特图

由于 π 滤波器中使用的铁氧体磁珠在负载电流范围内具有不同的电感，因此在不同负载条件下测量的波特图差异很大。在空闲时，测量的波特图具有多个 0db 增益交叉。在这种情况下很难应用相位裕度和增益裕度标准。相反，我使用了奈奎斯特稳定性准则。

奈奎斯特稳定性准则着眼于笛卡尔坐标系中开环系统的奈奎斯特图，其中 s = jω。假设开环系统传递函数为 F(s)，奈奎斯特图是 F (jω) 传递函数的图，其中 ω 从 -∞ 到 +∞。稳定性是通过查看 (-1,0j) 点的包围数来确定的。如果 (-1,0j) 被 F(s) 逆时针环绕的次数等于 F(s) 的右半平面极点，则系统是稳定的。在本例中，如果降压转换器没有右半平面极点，则 (-1,0j) 的圈数表示稳定性。

伯德图是线性非时变系统的传递函数对频率的半对数坐标图，其横轴频率以对数尺度（log scale）表示，纵坐标幅值或相角采用线性分度，利用伯德图可以看出系统的频率响应。伯德图一般是由二张图组合而成， 伯德图由两张图组成：①G(jω)的幅值(以分贝，dB表示)-频率(以对数标度)对数坐标图，其上画有对数幅频曲线；②G(jω)的相角-频率(以对数标度)对数坐标图，其上画有相频曲线。

奈奎斯特图，是一种线性控制系统的频率特性图，对于一个连续时间的线性非时变系统，将其频率响应的增益及相位以极坐标的方式绘出。奈奎斯特图上每一点都是对应一特定频率下的频率响应，该点相对于原点的角度表示相位，而和原点之间的距离表示增益，因此奈奎斯特图将振幅及相位的Bode 图综合在一张图中。 一般的系统有低通滤波性的特性，高频时的频率响应会衰减，增益降低，因此在奈奎斯特图中会出现在较靠近原点的区域。

我们可以从测量的 Bode 图导出 Nyquist 图。我先保存数据，我使用的分析仪提供以分贝为单位的幅度和以度为单位的相位的数据，如图 2 所示。不同的频率分析仪提供不同的格式。有频率分析仪可以提供复数数据。

图 2：频率分析仪从波特图测量中保存的数据 

等式 1 将幅度和相位转换为复数：

(1)                                                                                                                                                

其中 M n是幅度，θ n是测量的 F(s) 的相位，其中 s = j2πf n。

应用公式 1 后，我在笛卡尔坐标系中绘制了复数。图 3 中显示的曲线是从 100Hz 到 1MHz 的频率。这是从 0Hz 到 +∞Hz 的绘图的一个很好的近似值。从 -∞Hz 到 0Hz 的图是从 100Hz 到 1MHz 在笛卡尔坐标中水平镜像的图。我将图中从 -∞Hz 到 0Hz 的部分添加到图 3 并形成图 4。

图 3：从 100Hz 到 1MHz 频率的波特图导出的奈奎斯特图

图 4：从 -1MHz 到 -100Hz 和 100Hz 到 +1MHz 的 Bode 图导出的 Nyquist 图

单位增益圆周围的路径与系统稳定性最相关。我放大了靠近单位增益圆的区域。由于该系统是电压模式降压转换器，我知道直流增益超过 90dB，相位从 0 度开始。我可以在完整的 Nyquist 图中在较低频率处近似绘制该图，如图 5 所示。

图 5：系统空闲时从 -∞Hz 到 +∞Hz 的近似奈奎斯特图

沿着 -∞Hz 的箭头，我们可以看到 Nyquist 图没有环绕 (-1,0j) 点。系统稳定。我绘制了一个半径为 0.766 且以 (-1,j0) 为中心的蓝色圆圈。如果奈奎斯特图没有进入这个蓝色圆圈，则相位裕度大于 45 度，增益裕度应大于 12dB。

按照相同的程序，图 6 显示了满载时的奈奎斯特图。沿着箭头，我们可以看到奈奎斯特图也没有环绕 (-1,0j) 点。并且这个奈奎斯特图在安全圈之外，如前所述。

图 6：系统满载时从 -∞Hz 到 +∞Hz 的近似奈奎斯特图

当 Bode 图无法直接表示稳定性时，请考虑使用 Nyquist 图。在这篇文章中向我们展示了如何将测量的 Bode 图转换为 Nyquist 图以及如何使用 Nyquist 稳定性标准来判断系统稳定性。