基于跟踪微分器的一级倒立摆模糊控制策略

引言

倒立摆系统具有多变量、非线性和强耦合等特点。姜九龙等提出的使用自抗扰解耦控制方法对倒立摆系统具有良好的控制效果,但是在自抗扰控制过程中跟踪微分器(TD）、扩张状态观测器(EsO）、非线性误差反馈器(NLsEF）需要整定的参数有10种之多。而PID控制法虽然简单易用,但存在超调量大、鲁棒性能较差的缺陷。李庆春采用模糊PID控制方式,虽然其效果相比PID控制法有较大的进步,但仍存在抗抖动性能差、快速性欠佳等缺点。因此,本文借鉴自抗扰控制技术,选择跟踪微分器和非线性误差反馈器,并引入模糊控制理论在直线一级倒立摆装置上进行实验。

1直线一级倒立摆数学模型

本文选择某公司生产的便携式直线一级倒立摆作为实验对象,运用牛顿-欧拉方法建立系统的数学模型,得出系统内部的输入-状态关系,在忽略空气阻力和各种摩擦之后,用u代表被控对象的输入力F,线性化后的运动方程如下:

式中,m、b分别表示摆杆与小车质量:I表示小车摩擦系数:1表示摆杆转动轴心到杆质心的长度:s表示摆杆惯量:u表示加在小车上的力:x表示小车位置:。表示摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。

对式(1）进行拉普拉斯变换即可得到系统传递函数,如式(2）所示:

式(2）中代入参数摆杆质量m=0.0426kg,摆杆长度1为0.305m,摆杆转轴到质心长度1为0.152m,重力加速度g为9.81m/s2,忽略摩擦系数I,得到传递函数如式(4）所示:

2模糊跟踪微分器设计

2.1跟踪微分器数学模型

本文借鉴自抗扰控制技术作为控制策略的核心,设置一个跟踪微分控制器充当扩张状态观测器的功能,通过动态非线性组合对摆杆角度进行控制。

设二阶被控对象的状态方程为:

式中,f(x1,x2）为系统的已知扰动部分:w(l）为未知扰动部分:I为放大系数:u(l）为系统控制量。

设计跟踪微分器,二阶ADRC离散系统中的跟踪微分器(TD）可描述为:

式中,a(l）为输入信号:a1(l）、a2(l）分别为a(l）的跟踪信号和微分信号:可调参数R决定跟踪速度,R越大,跟踪速度越快:h为TD滤波因子:了为积分步长。

非线性状态反馈控制率(NLsEF）:

式中,系数α反映增益变化速率:α1、α2为非线性因子,其值由经验可得:e1为误差信号:e2("e/"l）为误差微分信号:u1为虚拟控制量。

当这些参数达到各自的期望状态时,借鉴ADRC中的NLsEF模块将这些控制量重新组合生成新的控制量,并将其作为系统最终的控制输入。

2.2模糊控制器设计

根据e1、"e/"l的值调整控制器中的模糊变量I1、I2。在其论域上定义7个语言子集:(负大(NB）,负中(NM）,负小(Ns）,零(ZO）,正小(Ps）,正中(PM）,正大(PB）],各模糊变量隶属度函数均为三角形(trimf）。取e1、e2的基本论域为[-4,4]、[-1,1],取I1、I2的基本论域为[80,100]、[2,10]。模糊推理采用Mamdani型,去模糊化处理算法为平均加权法。模糊规则采用"IF-THEN"推理形式,根据实际经验,针对(I1、I2]建立模糊规则,将整定后的Ii和误差信号、误差微分信号相结合,即用跟踪微分模糊控制器得到一组新的非线性组合量作为系统输入。

3仿真及试验平台验证

为了验证控制器控制效果,在MATLAB的simu1ink环境下搭建仿真框图,对比PID控制和跟踪微分模糊控制器控制效果以及抗干扰性能,如图1所示。跟踪微分器1各部分参数:R=10,H=0.01,7=0.01:跟踪微分器2各部分参数:R=600,H=0.01,7=0.01。同时为了验证控制器的鲁棒性,给小车施加有限带宽白噪声的扰动,设置噪声能量为0.5,采样时间为0.1s。

从图1的MATLAB仿真结果可以看出,PID控制和跟踪微分器模糊控制都能在1s左右使摆杆角度到达目标位置后并稳定下来。但是PID控制时,在到达稳定状态时存在较大的超调量,此时系统抖动性大,对系统的冲击也较大。运用跟踪微分器模糊控制,当摆杆角度曲线受扰动时,几乎不受干扰信号影响。在实验平台上验证仿真的准确性,将摆杆与竖直方向角度控制在弧度小于2.5rad时摆杆进入稳摆状态,在进行PID试验时,摆杆在稳摆过程中有较大范围的抖动,而在跟踪微分器模糊控制试验时,摆杆在小范围抖动后进入到稳定状态,且在稳摆后不会由于外界的小扰动导致摆杆落下。

4结论

（1）针对倒立摆系统的特点,设计了双通道跟踪微分器模糊控制器,保证控制的实时性,提高了系统对外界的抗扰动能力。

（2）通过仿真和试验验证了跟踪微分器模糊控制器具有良好的控制效果,不仅能迅速消摆,还具有较强的抗干扰性。

（3）本文设计的控制器的控制参数少,易于调试,更有利于工程的实际应用,但由于该控制器是单输入单输出控制,后续可研究应用双通道控制器控制小车位移和摆杆的角度。