一种基于梯度迭代算法重构信号的研究

引言

随着信息技术的发展,人们对信息的需求剧增,现实中大多数信号是模拟信号,而信号处理的数字化,决定了从模拟信息到数字信息是数据采样的必由之路,由于信息需求量大,信息的信号带宽越来越大,产生的数据越来越多,采用传统的香农-奈奎斯特定理处理宽带信号越来越困难。而在信息处理和传输过程中,为了便于传输,会再进行数据压缩,这个过程浪费了大量的采样资源。文献[1-6]给出的压缩感知理论(Compressedsensing)为解决此问题提供了可能,它指出只要信号可压缩或者在某个变换域是稀疏的,那么就可以用一个与该变换基不相关的观测矩阵将高维信号投影到低维空间上,然后通过求解优化问题从少量的投影高精度地重构原始信号。该理论在图像信号处理、数据采集、医学成像、模式识别和无线传感器网络等领域受到高度关注。

1压缩感知理论

1.1压缩感知的数学模型

已知x是一维有限长度信号,可看作一个RN空间Ⅳ×1维列向量,若在某个正交基或者紧支撑框架基w上是稀疏的,则称信号x在w域N稀疏,也就是说,x信号压缩成少量的非零值,然后再找一个稳定、与变换基w不相关的k×Ⅳ(k<Ⅳ)维测量矩阵,对稀疏信号进行线性测量,观测k≥Klog2(EQ \* jc3 \* hps17 \o\al(\s\up 5()次,即得到测量值y,测量公式如下:

在选择测量矩阵时必须满足不相干性和约束等距条件(Restricted1sometryProperty,RIP)两个约束条件。

相干性是两个不同矩阵间任意两个元素的相关程度。设w=(w1,w2,…,wn),o=(o1,o2,…,om),两者相干性为:

在压缩感知中,稀疏矩阵与测量矩阵之间相干性低,则对重构信号采样要求少。

约束等距条件:

式中,s为常数,且0≤s<1是精确恢复信号的充分条件。

压缩感知满足上述两个条件得到观测值,通过测量向量y可正确恢复原始信号x。由于k<Ⅳ,从测量值y恢复原始信号x是一个欠定方程,为解决这个问题,压缩感知重构信号算法将0-范数转化为1-范数线性规划问题进行求解,具体如式(4)所示:

1.2梯度迭代重构算法

如何设计出复杂度低、更精确、更稳定且需观测值少的重构算法是压缩感知理论信号重构的主要研究方向。本文提出基于梯度算法,分别用一个补偿微参数和一个全变分因子恢复重构信号,来证明基于梯度算法重构信号的效果。

1.2.1梯度算法

已知观测的线性矩阵方程y=s,求解L)函数最小化问题可以得到解决方案,求解公式如下:

根据上式可知L)是光滑凸函数,可得下式:

式中,ui为迭代步长:si、si＋1分别对应的是第i、i＋1个元素求得的对应的梯度值。

将式(6)代入式(5),可得迭代步长:

求解可得:

1.2.2利用1-范数入补偿量

若图像信号是稀疏的,可通过1-范数求解,选择参数入值进行补偿以重构原始信号。设si,j代表图像元素,将稀疏图像的优化问题转换为求1-范数,如下所示:

该式引入一个参量入作为第一变量与第二变量之间的平衡参数,由于si,j在原点处不可微,则式(9)的解如下:

将迭代步长ujn值代入公式(9)和(10),用梯度下降法,选择入为一个微小常量(入=0.001~0.01),则参数入随着入i＋1=(0.99~0.999)×入i迭代步骤的增加而逐渐减小,即恢复重构信号更加精确。

1.2.3约束全变分法

若图像在时域不稀疏,则将图像求解转化为凸优化问题,为更好地恢复图像信号,在梯度算法基础上,引入一个全变分因子rv(s),则式(9)可转变为式(12):

对于MXN图像si,j,其全变分公式为:

其中:

则可得解如下:

2图像重构实验对比

为了更加直观地说明基于梯度算法的重构效率,下面用256×256像素的图片为原始信号,如图1所示,选择测量矩阵大小100×56进行仿真实验。通过仿真实验,分别得到图2、图3两张图片:图2是采用1-范数算法恢复的图像,图3是采用约束全变分方法恢复所得图像,通过对比,图3的图像恢复效果更好。图4是原始图像与恢复图像之间的总变化,信噪比的总变化数为34.46dB。

3结语

对于稀疏或可压缩的信号,引入压缩感知理论这种新的信号采样方式,对原始信号进行观测后,得到恢复信号的观测值,根据该观测值,提出基于梯度算法进行原始信号重构的优化计算。实验表明,基于梯度迭代重构算法,利用l-范数补偿条件,通过凸优化问题限制重构总误差,能以极大概率精确重构原始信号。