高斯滤波器的原理和实现

高斯滤波器是一种线性滤波器，能够有效的抑制噪声，平滑图像。其作用原理和均值滤波器类似，都是取滤波器窗口内的像素的均值作为输出。其窗口模板的系数和均值滤波器不同，均值滤波器的模板系数都是相同的为1;而高斯滤波器的模板系数，则随着距离模板中心的增大而系数减小。所以，高斯滤波器相比于均值滤波器对图像个模糊程度较小。

什么是高斯滤波器

既然名称为高斯滤波器，那么其和高斯分布(正态分布)是有一定的关系的。一个二维的高斯函数如下：

其中(x,y)(x,y)为点坐标，在图像处理中可认为是整数;σσ是标准差。要想得到一个高斯滤波器的模板，可以对高斯函数进行离散化，得到的高斯函数值作为模板的系数。例如：要产生一个3×33×3的高斯滤波器模板，以模板的中心位置为坐标原点进行取样。模板在各个位置的坐标，如下所示(x轴水平向右，y轴竖直向下)

这样，将各个位置的坐标带入到高斯函数中，得到的值就是模板的系数。

对于窗口模板的大小为(2k+1)×(2k+1)，模板中各个元素值的计算公式如下：

这样计算出来的模板有两种形式：小数和整数。

小数形式的模板，就是直接计算得到的值，没有经过任何的处理;

整数形式的，则需要进行归一化处理，将模板左上角的值归一化为1，下面会具体介绍。使用整数的模板时，需要在模板的前面加一个系数，系数为也就是模板系数和的倒数。

高斯模板的生成

知道模板生成的原理，实现起来也就不困难了

void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)
{
static const double pi = 3.1415926;
int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐标的原点
double x2, y2;
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
x2 = pow(i - center, 2);
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
y2 = pow(j - center, 2);
double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
g /= 2 * pi * sigma;
window[i][j] = g;
}
}
double k = 1 / window[0][0]; // 将左上角的系数归一化为1
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
window[i][j] *= k;
}
}
}
需要一个二维数组，存放生成的系数(这里假设模板的最大尺寸不会超过11);第二个参数是模板的大小(不要超过11);第三个参数就比较重要了，是高斯分布的标准差。

生成的过程，首先根据模板的大小，找到模板的中心位置ksize/2。然后就是遍历，根据高斯分布的函数，计算模板中每个系数的值。

需要注意的是，最后归一化的过程，使用模板左上角的系数的倒数作为归一化的系数(左上角的系数值被归一化为1)，模板中的每个系数都乘以该值(左上角系数的倒数)，然后将得到的值取整，就得到了整数型的高斯滤波器模板。

下面截图生成的是，大小为3×3,σ=0.83×3,σ=0.8的模板

对上述解结果取整后得到如下模板：

这个模板就比较熟悉了，其就是根据σ=0.8的高斯函数生成的模板。

至于小数形式的生成也比较简单，去掉归一化的过程，并且在求解过程后，模板的每个系数要除以所有系数的和。具体代码如下：

void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)
{
staTIc const double pi = 3.1415926;
int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐标的原点
double x2, y2;
double sum = 0;
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
x2 = pow(i - center, 2);
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
y2 = pow(j - center, 2);
double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
g /= 2 * pi * sigma;
sum += g;
window[i][j] = g;
}
}
//double k = 1 / window[0][0]; // 将左上角的系数归一化为1
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
window[i][j] /= sum;
}
}
}
3×3,σ=0.8的小数型模板。

σσ值的意义及选取

通过上述的实现过程，不难发现，高斯滤波器模板的生成最重要的参数就是高斯分布的标准差σσ。标准差代表着数据的离散程度，如果σσ较小，那么生成的模板的中心系数较大，而周围的系数较小，这样对图像的平滑效果就不是很明显;反之，σσ较大，则生成的模板的各个系数相差就不是很大，比较类似均值模板，对图像的平滑效果比较明显。

来看下一维高斯分布的概率分布密度图：

横轴表示可能得取值x，竖轴表示概率分布密度F(x)，那么不难理解这样一个曲线与x轴围成的图形面积为1。σσ(标准差)决定了这个图形的宽度，可以得出这样的结论：σσ越大，则图形越宽，尖峰越小，图形较为平缓;σσ越小，则图形越窄，越集中，中间部分也就越尖，图形变化比较剧烈。这其实很好理解，如果sigma也就是标准差越大，则表示该密度分布一定比较分散，由于面积为1，于是尖峰部分减小，宽度越宽(分布越分散);同理，当σσ越小时，说明密度分布较为集中，于是尖峰越尖，宽度越窄!

于是可以得到如下结论：

σσ越大，分布越分散，各部分比重差别不大，于是生成的模板各元素值差别不大，类似于平均模板；

σσ越小，分布越集中，中间部分所占比重远远高于其他部分，反映到高斯模板上就是中心元素值远远大于其他元素值，于是自然而然就相当于中间值得点运算。

基于OpenCV的实现

在生成高斯模板好，其简单的实现和其他的空间滤波器没有区别，具体代码如下：

void GaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma)
{
CV_Assert(src.channels() || src.channels() == 3); // 只处理单通道或者三通道图像
const staTIc double pi = 3.1415926;
// 根据窗口大小和sigma生成高斯滤波器模板
// 申请一个二维数组，存放生成的高斯模板矩阵
double **templatematrix = new double*[ksize];
for (int i = 0; i < ksize; i++)
templateMatrix[i] = new double[ksize];
int origin = ksize / 2; // 以模板的中心为原点
double x2, y2;
double sum = 0;
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
x2 = pow(i - origin, 2);
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
y2 = pow(j - origin, 2);
// 高斯函数前的常数可以不用计算，会在归一化的过程中给消去
double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
sum += g;
templateMatrix[i][j] = g;
}
}
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
templateMatrix[i][j] /= sum;
cout