浅谈随机振动试验：随机振动试验4个域描述（二）

[导读]随机振动没有周期性，无规律可言，其波形在时间轴上无法数式化表示，不像正弦振动那样可以预测到下一步的运动状态。一般，振幅的概率密度函数近似符合正态分布。假定随机振动试验是平稳的各态历经的正态分布。通过上述假定，我们可以通过数学统计和概率论的方法来加以描述随机振动，离开这个假定，随机振动试验无从谈起。一般随机振动可通过下面4个域进行描述。

本文来源于振动试验学习笔记

＊＊＊时差域（自相关函数、互相关函数）

给出频率成份和时间历程之间的信息。

（1）自相关函数R_xx(τ)（auto-correlation function）：反应同一随机信号x（t）在时刻t和（t+τ）时的相互依赖关系，定义为两时刻随机变量的乘积的平均值。

当平均时间趋近于无穷大时，便得到自相关函数，其数学式和曲线如下所示，是时差τ的函数。

随机振动自相关函数曲线

上图中可以看出，R_xx（τ）越大，同一随机振动信号两时刻的信号相似性越好；R_xx（τ）越小，相似性越差。对于平稳随机振动，当τ趋近于无穷大时，两个信号越来越不相关，且其值趋近于μ²。μ= 0时，其也趋近于零。

随机振动试验中，很重要的一个函数，主要作用如下，

1 用于描述随机振动过程的总能量以及静态分量和动态分量。

当τ= 0的时候，即

2 用于检测随机振动过程中的确定性周期振动。

它可以把随机信号中的周期成份检测出来。因为任何周期信号在所有的时移上都有一定的自相关函数图形，当在自相关函数图上发现时差τ趋于无穷大，R_xx（∞）≠0，而有某种周期性，即说明随机振动信号中混有周期信号成份。

3 用于构建自功率谱密度函数，通过对自相关函数进行傅里叶变换即可得到，随机振动试验中很重要的一个分析方法，和PSD关系很大。

（2）互相关函数R_xy (τ)（cross-correlationfunction）：反应两个随机信号x（t）、y（t）在时刻t和t+τ的相互依赖关系。

其数学式和曲线如下所示，是时差τ的函数。

随机振动互相关函数曲线

同样也是一个重要的函数，可以用于检测振动系统响应信号与激励信号的滞后时间，因为信号在系统中的时间滞后值，可以通过输入和输出的互相关函数中的峰值位置来确定，互相关函数最大值偏离坐标中心位置的时间坐标移动值，就是信号通过系统所需时间（图中τ₀）。用于确定信号传递通道，如果一线性系统的输入通过几个通道输出，利用互相关函数的时移，可以确定那个通道为主要的。用于辨别随机信号中的成份，用于构建互功率谱密度函数（傅里叶变换）。

＊＊＊频域(自功率谱密度函数、互功率谱密度函数)

（1）自功率谱密度函数S_xx(ω)：将平稳随机振动过程x(t)的自相关函数R_xx（τ）的傅里叶变换定义为随机振动过程的自功率谱密度函数S_xx(ω)。其数学式如下所示，

其傅里叶逆变换即

下表列举了各类振动信号的概率密度、自相关、自功率谱等的曲线，供参考。

自功率谱密度函数是一个很有用的函数，描述随机振动的频率构成。x²(t)可以看成振动系统的“功和能”的度量，R_xx（τ）中含有x²(t)的成份，求出S_xx(ω)后可以得到振动能量在频率域的分布度量，因为时域和频域功率守恒（帕斯瓦定理）。

了解以上概念后，这里可以提出PSD（功率谱密度谱）的概念，在指定频率上，随机振动信号的功率谱密度为，

式中，可以看到在指定频率上的功率谱密度就是信号在Δf中的均方值的平均值。由于理想情况（平均时间无限长，滤波器的带宽无限窄）不可能实现，因此通常是用有限平均时间和有限带宽，即

将所有的Δf和对应的PSD值连续起来，便得到了频率范围内PSD的变化形式（曲线、直线、折线等图形），这图形称为功率谱密度的频谱，也就是随机振动试验最基本的试验内容。功率谱密度的单位是g²/Hz，即单位频率上的加速度值的平方，所以在随机振动试验中也称为加速度谱密度（ASD）。功率谱密度的频谱也称为加速度谱密度的频谱。单位有g²/Hz和m²/s⁴二种方式，两者的关系约为100倍，即1g²/Hz = 100m²/s⁴。

至于PSD是怎么得到的，只要记住傅里叶变换得到的即可。具体来说，随机信号→幅值正态分布→均方值（平均功率）→帕斯瓦定理（功率守恒）→自相关函数（去除相位信息）→维纳-辛钦定理（一个信号的功率密度谱就是其自相关函数的傅里叶变换）。

（2）互功率谱密度函数S_xy(ω)：它是互相关函数的傅里叶变换，其数学式如下，

其傅里叶逆变换即

它可以用来描述两随机振动过程之间的频率信息，不仅能提供按频率分布的能量大小，还能提供两信号之间的相互关系。从互功率谱密度中，可以得到系统的频响函数，也可以确定振动响应与对其激励的时间关系。

总结：

以上说明了随机振动的4个域（时域、幅值域、时差域、频域）描述中需要的几个主要概念，对初学者来说理解起来比较困难。简单来说，对于现场随机振动，通过上面这些概念对其定义和计算，进行傅里叶变换，得到随机振动试验需要的PSD和量级。然后通过振动控制仪模拟现场随机振动试验，重现其有效频率成份（频率范围）、功率谱密度（加速度谱密度）、总均方根加速度（有效值），振动台面的运动是随机振动的时间历程，该时间历程含有现场随机振动的同样成份（频率、能量），是其典型代表，但波形基本上不是同样的。