开关电源的建模和环路补偿设计(1)：小信号建模的基本概念和方法(一)

引言

如今的电子系统变得越来越复杂，电源轨和电源数量都在不断增加。为了实现最佳电源解决方案密度、可靠性和成本，系统设计师常常需要自己设计电源解决方案，而不是仅仅使用商用砖式电源。设计和优化高性能开关模式电源正在成为越来越频繁、越来越具挑战性的任务。

电源环路补偿设计常常被看作是一项艰难的任务，对经验不足的电源设计师尤其如此。在实际补偿设计中，为了调整补偿组件的值，常常需要进行无数次迭代。对于一个复杂系统而言，这不仅耗费大量时间，而且也不够准确，因为这类系统的电源带宽和稳定性裕度可能受到几种因素的影响。本应用指南针对开关模式电源及其环路补偿设计，说明了小信号建模的基本概念和方法。本文以降压型转换器作为典型例子，但是这些概念也能适用于其他拓扑。本文还介绍了用户易用的 LTpowerCAD设计工具，以减轻设计及优化负担。

确定问题

一个良好设计的开关模式电源 (SMPS) 必须是没有噪声的，无论从电气还是声学角度来看。欠补偿系统可能导致运行不稳定。不稳定电源的典型症状包括：磁性组件或陶瓷电容器产生可听噪声、开关波形中有抖动、输出电压震荡、功率 FET 过热等等。

不过，除了环路稳定性，还有很多原因可能导致产生不想要的震荡。不幸的是，对于经验不足的电源设计师而言，这些震荡在示波器上看起来完全相同。即使对于经验丰富的工程师，有时确定引起不稳定性的原因也是很困难。图 1 显示了一个不稳定降压型电源的典型输出和开关节点波形。调节环路补偿可能或不可能解决电源不稳定问题，因为有时震荡是由其他因素引起的，例如 PCB 噪声。如果设计师对各种可能性没有了然于胸，那么确定引起运行噪声的潜藏原因可能耗费大量时间，令人非常沮丧。

图 1：一个 “不稳定” 降压型转换器的典型输出电压和开关节点波形

对于开关模式电源转换器而言，例如图 2 所示的 LTC3851 或LTC3833 电流模式降压型电源，一种快速确定运行不稳定是否由环路补偿引起的方法是，在反馈误差放大器输出引脚 (ITH) 和 IC 地之间放置一个 0.1μF 的大型电容器。(或者，就电压模式电源而言，这个电容器可以放置在放大器输出引脚和反馈引脚之间。) 这个 0.1μF 的电容器通常被认为足够大，可以将环路带宽拓展至低频，因此可确保电压环路稳定性。如果用上这个电容器以后，电源变得稳定了，那么问题就有可能用环路补偿解决。

图 2：典型降压型转换器 (LTC3851、LTC3833、LTC3866 等)

过补偿系统通常是稳定的，但是带宽很小，瞬态响应很慢。这样的设计需要过大的输出电容以满足瞬态调节要求，这增大了电源的总体成本和尺寸。图 3 显示了降压型转换器在负载升高 / 降低瞬态时的典型输出电压和电感器电流波形。图 3a 是稳定但带宽 (BW) 很小的过补偿系统的波形，从波形上能看到，在瞬态时有很大的 VOUT 下冲 / 过冲。图 3b 是大带宽、欠补偿系统的波形，其中 VOUT 的下冲 / 过充小得多，但是波形在稳态时不稳定。图 3c 显示了一个设计良好的电源之负载瞬态波形，该电源具备快速和稳定的环路。

(a) 带宽较小但稳定

(b) 带宽较大但不稳定

(c) 具快速和稳定环路的最佳设计

图 3：典型负载瞬态响应 ━ (a) 过补偿系统;(b) 欠补偿系统;(c) 具快速和稳定环路的最佳设计

PWM 转换器功率级的小信号建模

开关模式电源 (SMPS)，例如图 4 中的降压型转换器，通常有两种工作模式，采取哪种工作模式取决于其主控开关的接通 / 断开状态。因此，该电源是一个随时间变化的非线性系统。为了用常规线性控制方法分析和设计补偿电路，人们在 SMPS 电路稳态工作点附近，应用针对 SMPS 电路的线性化方法，开发了一种平均式、小信号线性模型。

图 4：降压型 DC/DC 转换器及其在一个开关周期 TS 内的两种工作模式

建模步骤 1：通过在 TS 平均，变成不随时间变化的系统

所有 SMPS 电源拓扑 (包括降压型、升压型或降压/升压型转换器) 都有一个典型的 3 端子 PWM 开关单元，该单元包括有源控制开关 Q 和无源开关 (二极管) D。为了提高效率，二极管 D 可以用同步 FET 代替，代替以后，仍然是一个无源开关。有源端子 “a” 是有源开关端子。无源端子 “p” 是无源开关端子。在转换器中，端子 a 和端子 p 始终连接到电压源，例如降压型转换器中的 VIN 和地。公共端子 “c” 连接至电流源，在降压型转换器中就是电感器。

为了将随时间变化的 SMPS 变成不随时间变化的系统，可以通过将有源开关 Q 变成平均式电流源、以及将无源开关 (二极管) D 变成平均式电压源这种方式，应用 3 端子 PWM 单元平均式建模方法。平均式开关 Q 的电流等于 d ● iL，而平均式开关 D 的电压等于 d ● vap,，如图 5 所示。平均是在一个开关周期 TS 之内进行的。既然电流源和电压源都是两个变量的乘积，那么该系统仍然是非线性系统。

图 5：建模步骤 1：将 3 端子 PWM 开关单元变成平均式电流源和电压源

建模步骤 2：线性AC 小信号建模

下一步是展开变量的乘积以得到线性 AC 小信号模型。例如，变量

，其中 X 是 DC 稳态的工作点，而

是 AC 小信号围绕 X 的变化。因此，两个变量 x ● y 的积可以重写为：

图 6：为线性小信号 AC 部分和 DC 工作点展开两个变量的乘积

图 6 显示，线性小信号 AC 部分可以与 DC 工作点 (OP) 部分分开。两个 AC 小信号变量 (

●

) 的乘积可以忽略，因为这是更加小的变量。按照这一概念，平均式 PWM 开关单元可以重画为如图 7 所示的电路。

图 7：建模步骤 2：通过展开两个变量的乘积给 AC 小信号建模

通过将上述两步建模方法应用到降压型转换器上 (如图 8 所示)，该降压型转换器的功率级就可以建模为简单的电压源，其后跟随的是一个 L/C 二阶滤波器网络。[!--empirenews.page--]

图 8：将降压型转换器变成平均式、AC 小信号线性电路

以图 8 所示线性电路为基础，既然控制信号是占空比 d，输出信号是 vOUT，那么在频率域，该降压型转换器就可以用占空比至输出的转移函数 Gdv(s) 来描述：

函数 Gdv(s) 显示，该降压型转换器的功率级是一个二阶系统，在频率域有两个极点和一个零点。零点 sZ_ESR 由输出电容器 C 及其 ESR rC 产生。谐振双极点由输出滤波器电感器 L 和电容器 C 产生。

既然极点和零点频率是输出电容器及其 ESR 的函数，那么函数 Gdv(s) 的波德图随所选择电源输出电容器的不同而变化，如图 9 所示。输出电容器的选择对该降压型转换器功率级的小信号特性影响很大。如果该电源使用小型输出电容或 ESR 非常低的输出电容器，那么 ESR 零点频率就可能远远高于谐振极点频率。功率级相位延迟可能接近 –180°。结果，当负压反馈环路闭合时，可能很难补偿该环路。

图 9：COUT 电容器变化导致功率级 Gdv(s) 相位显著变化

升压型转换器的小信号模型

利用同样的 3 端子 PWM 开关单元平均式小信号建模方法，也可以为升压型转换器建模。图 10 显示了怎样为升压型转换器建模，并将其转换为线性 AC 小信号模型电路。

图 10：升压型转换器的 AC 小信号建模电路

升压型转换器功率级的转移函数 Gdv(s) 可从等式 5 中得出。它也是一个二阶系统，具有 L/C 谐振。与降压型转换器不同，升压型转换器除了 COUT ESR 零点，还有一个右半平面零点 (RHPZ) 。该 RHPZ 导致增益升高，但是相位减小 (变负)。等式 6 也显示，这个 RHPZ 随占空比和负载电阻不同而变化。既然占空比是 VIN 的函数，那么升压型转换器功率级的转移函数 Gdv(s) 就随 VIN和负载电流而变。在低 VIN 和大负载 IOUT_MAX时，RHPZ 位于最低频率处，并导致显著的相位滞后。这就使得难以设计带宽很大的升压型转换器。作为一个一般的设计原则，为了确保环路稳定性，人们设计升压型转换器时，限定其带宽低于其最低 RHPZ 频率的 1/10。其他几种拓扑，例如正至负降压 / 升压、反激式 (隔离型降压 / 升压)、SEPIC 和 CUK 转换器，所有都存在不想要的 RHPZ，都不能设计成带宽很大、瞬态响应很快的解决方案。

图 11：升压型转换器功率级小信号占空比至 VO 转移函数随 VIN 和负载而改变