用电路实现pascal三角形运算

Pascal三角形，即(a-b)n展开项系数，是一个经典的数学问题，然而它在通信、频率补偿、版图布局布线优化等很多方面都有广泛的应用。在一个小数分频项目中，需要构建一个四级的pascal三角形来进行相位补偿，如图1所示，第二个累加器的溢出必须通过第一个微分控制分频比，第三个累加器的溢出必须通过第二个微分控制分频比，依此类推。第二个累加器使分频比变为N+1、N-1，第三个累加器将分频比变为N+1、N-2、N+1，第四个累加器的分频比序列为N+1、N-3、N+3、N-1，正如图2所示该序列构成一个pascal三角形，每行的总和为零。依照这个规律可以设计实现pascal 三角形运算的通用电路。

Pascal三角形的数学描述
　　pascal三角形通常用三角形的方式来表示，如图2所示，也可以用一个二维的下三角矩阵来描述，如图3所示。
　　矩阵a[n，n]可以用下面的公式来描述。
　　a[i, j]=a[i, j-1]+(-1)a[i+1, j] (式1)
　　(a[n, 1]=0，a[n, 2]=a[n, 3]=...=a[n, n]=1)
　　i≥1，j≥2。
　　矩阵中第一列的0是为了方便电路实现而人为加上去的。将此二维矩阵表达式(即式1)变成含有时间的一维方程。
　　a[i]j=a[i]j-1+(-1)a[i+1]j (式2)
　　i，j均大于1，a[n]2 =a[n]3=...a[n]n=1。下标表示时间，a[n，1]=0表示刚开始整个电路的清零信号，其余第一列的0表示对应pascal三角形的和为0，最后一行的1表示pascal三角形每一行对应的输入端有输入值1时，产生的立即数为1。
　　此外，式2具有叠加性，可以把pascal三角形中的一行加上其余任意一行或者几行，实现任意时钟周期的延时。

Pascal三角形的基本电路
　　根据上面一维含时公式，先要构建补码电路，然后是一个加法电路，最后是一个延时电路。
　　假设一个数组a[n:0]表示数的各位，a[0]为最低位，对各位取反，然后最低位加1，得到一个新的数组b[n:0]，这个数组最低位为b[0]，对应的逻辑关系是：

　　其余位按照这个规律依此类推,逻辑图如图4所示。
　　采用通用的全加器，逻辑表达式为：

　　示意图参见图5。其中CI为上一级的进位，A、B为本级输入信号，S为全加和，CO是本级进位。
　　延时器采用带清零的D触发器来实现，见图6。CLOCK为时钟信号，CLEAR为清零信号，D是数据输入信号，Q是原量输出
。
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电路设计
　　首先构建一个4级pascal三角形电路，其中CLOCK是时钟信号，IN1、IN2、IN3、IN4分别对应于pascal三角形的前4行，CLEAR是清零信号。IN1、IN2、IN3、IN4输入之前将触发器清零，防止输出不定态。D0、D1、D2、D3是从低到高的四位输出，SIGN是符号位，这五位构成输出。值得注意的是，IN4经过与自己直接相连的D触发器产生的数只有一位，然而它的补码需要4位，只好在高位加零，这样补码电路就可以简化，图7就是经过简化的电路图。为了增加电路的直观性，这里省略了电路中所有D触发器的时钟信号和清零信号，所有D触发器的清零信号和时钟信号分别连在一起。

　　　　　　　　图7 pascal三角形实现电路

　真值表

电路的验证与扩展
　　取IN1、IN2、IN3、IN4从0001到1111，并且给每组值以足够的变化周期，可以得到下面的真值表。在viewlogic用XILINX公司的XC4000库进行模拟，除了可以忽略的毛刺和初始时无关紧要的不定态之外，得到的波形图与真值表完全一致，其中CP1、CP2、CP3、CP4分别对应于第1、2、3、4时钟，周期波形图如图8所示。

　　　　　　图8 波形图

三级的电路得到验证之后，根据同样的原理，可以在四级的基础上进行任意级的构建。

小结
　　本文给出了pascal三角形运算电路的设计思想与实现方法，以及在viewlogic下的验证，并且还可以根据需要进行任意级的扩展。Pascal三角形在版图布局布线优化等方面的具体应用可以参考有关文献，在此不再赘述。