gcd欧几里德算法/extgcd扩展欧几里德算法以及在解不定方程中的应用

这个应该是我在noip前就应该会的东西 ，但是当时也许只是记下了代码吧 ，现在有诸多的不理解。后来借着书和几篇博客弄懂了并小证了一下，鉴于网上有些博客关于这个的写的真的不好看，所以自己来总结一下，顺带以后也能看。
顺带一提，表示a,b的最大公约数。

欧几里德算法

辗转相除法求最大公约数问题，同可求最小公倍数。
既然是辗转相除法，自然就是%%%，%到互相整除为止。代码也很详尽简洁。

int regulargcd(int x,int y)
{
    return y==0?x:(regulargcd(y,x%y));
}

最小公倍数为两数之积除以他们的最大公约数，相信大家都能明白。

扩展欧几里德算法

我之前一直困惑的是它为什么可以求不定方程的解，后来基本明白了：
给定一个形如方程，求它的整数解。
我们知道为整数，是整数，使得为整数解，那么需要约掉系数中相同的部分，于是
所以说，假设我们有，则方程的解为的t倍,那么原问题转化为求方程的解了。

再推到一般，若互质，有有解。

然后接下来我们考虑特殊解的情况：

递归的最终结果为,假定方程有解，那么最终有，即，即，出现，这是在求时递归形成的。若我们也这样地求解方程呢？

于是我们来找与的关系,由于（整数除法） 所以代入有

于是原方程解为。
这样我们就能递归地计算方程的解了。

int extgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        int ans;
        ans=extgcd(b,a%b,x,y);
        int tmp=x;
        x=y;
        y=tmp-(a/b)*y;
        return ans;
    }
}

不定方程不是有很多解吗？是的，这只是最小解。设最小解为，它的所有解为和。（自己带到方程里展开就有恒等式，这里不证了）当时，有,。

    while(x<=0)
    {
        x+=(b/res);
    }
    printf("%dn",x);

例题：zoj3609求逆元
方法同上，AC代码

#include#include#include#include#include#include#include//zoj3609 AC
using namespace std;

int extgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        int ans;
        ans=extgcd(b,a%b,x,y);
        int tmp=x;
        x=y;
        y=tmp-(a/b)*y;
        return ans;
    }
}

int regulargcd(int x,int y)
{
    return y==0?x:(regulargcd(y,x%y));
}

int main()
{
    int a,b;
    int cas;
    scanf("%d",&cas);
    for(int z=0;z0)
            {
                printf("%dn",x);
            }
            else
            {
                while(x<=0)
                {
                    x+=(b/res);
                }
                printf("%dn",x);
            }
        }
        else
        {
            printf("Not Existn");
        }
    }
    return 0;
}

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