压缩感知和深度学习的区别

本质上是两个问题。如果一定要找联系，两者都涉及数据的稀疏表达。
压缩感知解决“逆问题”：Ax=b。对于欠定的线性系统，如果已知解具有稀疏性（sparsity），稀疏性可以作为约束或者正则项，提供额外的先验信息。线性逆问题和稀疏性在这类问题中的应用有相对完整的理论体系，楼上 yang liu推荐的 Michael Elad的书是很好的入门教材。

另一类关系密切的问题是低秩矩阵恢复(low-rank matrix recovery)，使用low-rank作为先验知识，解关于矩阵的线性逆问题，发展出一套理论。

压缩感知的思想被应用在了更多的领域，比如非线性逆问题。相关的理论正在快速的发展，但是应用已经领先一步。我个人感兴趣的是双线性逆问题（bilinear inverse problem），比如盲反卷积（blind deconvolution）、矩阵分解(matrix factorization)。

在应用压缩感知的过程中，我们发现大部分信号本身并不是稀疏的（即在自然基下的表达不是稀疏的）。但是经过适当的线性变换后是稀疏的（即在我们选择的另一组基（basis）或者框架（frame，我不知道如何翻译）下是稀疏的）。比如谐波提取（harmonic retrieval）中，时域信号不稀疏，但在傅里叶域信号是稀疏的。再比如大部分自然图像不是稀疏的，但经过DCT（离散余先变换）或者wavelet transform（小波变换），可以得到稀疏的表达。一个一度非常热门的研究课题是字典学习（Dictionary Learning）和变换学习（Transform Learning），通过大量的信号实例，自适应地学习稀疏性表达。


深度学习是机器学习的一种手段，参见楼上Stephen Wang的解释。深度学习中通常都涉及非线性环节。这里数据表达的目的通常不再是数据恢复（recovery），而是分类（classification）等机器学习的任务。


下面是我理解的区别：
在信号处理中的稀疏表达学习（sparse representation learning）侧重对信号建模，即目标是获取原信号的一个忠实的表达（faithful representation）。我们通常需要变换和逆变换，来实现信号的重建（reconstruction）。即使在不需要重建的问题中，我们也需要这种表达能够很好地区分有意义的信号和无意义的噪声（discriminate signal against noise）。所以这类变换通常有很多良好的性质（可逆、很好的条件数（condition numer）等）。
深度学习或者更广泛的机器学习中，数据表达的目标因问题而异，但是通常我们都不需要这种表达过程的可逆性。比如在分类问题中，我们的目标是把数据变换到有“意义”的空间，实现不同类别信号的分离。这种变换可以是线性或非线性的，可以是可逆或不可逆的，可以变换到稀疏的表达或其他有意义的便于分类的表达。