PN 结热行为虚拟实验

[导读]在许多研究 pn 结中电流随温度变化的实验室实验中，反向饱和电流被假定为常数。这是一个近似值，因为这个量很大程度上取决于温度。在更现实的情况下，我们建议在 Mathematica 计算环境中进行虚拟/计算实验。

在许多研究 pn 结中电流随温度变化的实验室实验中，反向饱和电流被假定为常数。这是一个近似值，因为这个量很大程度上取决于温度。在更现实的情况下，我们建议在 Mathematica 计算环境中进行虚拟/计算实验。

介绍

在之前的教程中，我们看到，在电位差V 的作用下，pn结中的电流在温度T下处于热力学平衡状态：

其中a = 1 / 11600 (V / K)，而(对于锗为1)：

这里，V g = 0 . 785 V(带隙以伏特表示)，而K是一个正常数。从公式 (1) 中我们可以看出，I 0 ( T ) 是V → −∞时反向饱和电流的绝对值。

由于方程 (1) 中第二个元素的指数快速衰减，室温下 |V | 的 I 0 (T) 值达到 70 ÷ 80 V 的数量级。

为了确定常数K，我们使用二极管制造商通常提供的数据：

I 0 ( T amb ) 其中T amb 为环境温度。对于锗，典型值为 1 µ A，T amb = 298 . 15 K(相当于 22°C)。根据公式 (2)，以适当的测量单位可得出K = 206 . 638。当然，由于K为常数，因此该值与温度无关。

电路原理图

现在我们可以重建指定二极管的电压-电流特性。在室温下，我们得到图 1 中的趋势，从中我们可以看到由于二极管的电阻很小，电流达到了禁止值。让我们记住，理想情况下，二极管在正向偏置时表现得像短路。为了限制电流，我们插入一个电阻负载，如图 2 所示。

图 1：电压-电流特性( T = Tamb的函数 (1) 图)

图 2：我们通过添加与二极管串联的电阻负载来限制电流强度。该串联由可变电压发生器供电

实验安排

在分析讨论图 1 中的电路之前，我们先从实验的角度观察，除了已经提到的温度 Tamb 之外，以下温度也很有趣(小写字母表示以 °C 为单位的温度)：

因此需要四个恒温器。第一个是环境;第二个是水热量计(温度T 1);第三个是融化的水和冰热量计(温度T 2);第四个是液氮热量计(温度T 3，1 个大气压下液氮的沸点)。由于这些是水恒温器，因此测量的电路部分(电压表、电流表)必须适当防水。

电路的数学分析

精确解

将基尔霍夫第二原理 [2] 应用于图 1 中电路的单个链路，可得出：

其中V D 是二极管两端的压降。电流I 的计算公式为：(1) 将V替换为V D。因此，我们得到：

对于给定的V值和T = T k (方程 (3))，刚刚写的方程构成了一个未知数 ( I, V D ) 的系统，从中可以很容易地得到：

这是一个超越方程，需要对给定V值的I进行数值求解，而对于给定的V ，温度T取(3) 中的一个值。因此，可以使用任何传统编程语言(例如 Fortran)在软件中重建量I ( T, V )。

然而，使用 CAS(计算机代数系统)，我们可以强制求解(6)，而无需借助数值分析。例如，Mathematica通过Lambert 函数3来表达该解。

请注意，对于给定的T值，I ( T, V ) 与V的关系图不是二极管的电压-电流特性，因为后者是电压降V D的函数，而电压降是方程组的第二个未知数。一旦知道这两个量，我们就用Mathematica构建一个有序对列表，其元素分别是V D和I，然后我们绘制它们的图像。例如，对于T = T 1 = 320 K 和R = 1 kΩ，我们得到图 3 中的趋势。对于T = T 3 = 77 . 3 K 时，我们得到图 4 中绘制的趋势。请注意，电流范围保持不变，而V D 范围增加。这意味着电流随着热量下降而下降。

图 3： T 1 = 320 K时电流强度随V D变化的趋势。串联电阻为R = 10 3 Ω

图 4： T 2 = 77 . 3 K时电流强度随V D变化的趋势。串联电阻为R = 10 3 Ω

近似解

考虑到反向饱和电流与温度无关，公式(6)变为：

使用Mathematica重复该过程，我们发现电压-电流特性(VD ，I )与T = T 1 时的精确特性差别不大，因为这个温度略高于室温(精确解与近似解重合)，而我们从图 5 中的图表中看到T = T 3 = 77.3 K 时存在显著差异。为了使差异更加明显，我们在图 6 中以对数刻度报告了解(精确解和近似解)的趋势。