模拟仿真：给定粒子数的“费米气体”模型的极限

我们通过费米理想气体模型解释了半导体的行为，考虑了两个不同的物理系统：电子和空穴。我们认为，这有点牵强，在本教程中，我们引入了具有可变粒子数的理想费米气体的概念。

共价键

为不失一般性，我们以锗 (Ge) 和硅 (Si) 为例。众所周知，这两种化学元素是四价的，结晶于金刚石的晶格结构中：单个原子有四个邻居，位于正四面体的顶点。这些原子通过共价键连接，其中四个价电子中的一个与相邻原子的“最近”价电子建立自旋单重态1。图 1 是 Ge/Si 晶格结构的二维表示。

用不太精确但有效的语言来说，我们会说在自旋单重态中，电子具有反向平行自旋。这种表达的不精确之处在于自旋角动量是量子可观测量，没有经典的类似物。因此，用矢量来描述自旋是没有意义的。

我们预计热激荡会破坏共价键，因为在T = 0 K 时，共价键是完整的(在此温度下晶体是绝缘体)。实际上，我们可以考虑以下情况：对于给定温度T > 0，只有一个键断裂，如图 2 所示。电子 1 仍然与其所属的原子结合，而电子 2 是自由的;然而，这两个电子处于自旋单重态，因为热能会改变动力学自由度，但不改变自旋自由度。用量子力学的语言来说，热能的影响相当于一种改变量子态的测量操作。

通过将温度恢复到T = 0，恢复初始配置，其中两个电子都位于两个相邻原子之间。

在现实的描述中，当温度T足够高时，会有一定数量的共价键断裂，如前所述，这个量是温度的函数，我们将其写为N e ( T ) ，条件是N e ( 0) = 0 ，这在数学上表达了绝对零度温度下共价键的重组。

图 1：Ge/Si 晶格结构的二维表示。红色矩形表示相邻原子电子之间的共价键

图 2：热力学平衡温度T足以破坏共价键(带虚线边缘的矩形)。电子 1 和 2 不再结合，但仍处于自旋单重态。因此，如果温度消失，初始键就会恢复

单电子能级

从各自的共价键中释放出来的N e ( T )电子意味着存在N e ( T ) 正离子，其总电荷为Q = + eN e ( T )，e是束缚在晶格位置上的电荷电子的绝对值。因此，我们有一个量子力学系统N e ( T) 电子受到由离子系统产生的库仑力场的作用。我们可以忽略电子与电子之间的排斥力，因为主要相互作用是由离子施加的。该力场的势能是坐标 ( x, y, z ) 上的周期函数V ( x, y, z )，其周期等于晶格间距，因为在每个晶格节点中我们都可以找到一个离子。从量子角度来看，这是一个求解单电子哈密顿算符特征值谱的问题，即能量的特征值ε和相应的特征函数ψ。按照泡利不相容原理，每个单个 e 能级最多由两个电子占据。

与所有量子力学问题一样，所研究系统的对称性在寻找特征值方程或稳态薛定谔方程的解时起着决定性的作用。在晶体的情况下，对称性由离散平移(晶格步长)下的不变性给出。从数学上讲，这通过著名的布洛赫定理来表达，根据该公式，能量的特征函数是振幅调制的平面波，其调制包络是一个周期函数，其周期等于晶格的步长(因此具有与能量势相同的周期性)。从物理上讲，平面波的振幅调制意味着单个电子的行为“几乎”像一个自由粒子。更具体地说，只要我们用周期势的存在代替电子的质量，我们就可以将其视为自由粒子。

势能周期性的一个显著结果是能量特征值谱的能带结构，即后者是由一定数量的间隔组成的，间隔之间有间隙。特征值的这种行为表征了任何固体，无论是导体(金属)、绝缘体还是半导体。一旦计算出单个电子的能量ε的特征值，下一步就是查看这些能级是如何填充的。正如我们在上一期中看到的那样，能级ε被占据的概率由费米-狄拉克分布函数表示：

回想一下，µ ( T ) 是电子气的化学势。在金属的特定情况下，导带由构成理想费米气体的常数(即与温度无关)电子填充。在图 3 中，我们将 (1) 带回到温度T = 0，我们可以看到从 0 到 a ε max = µ (0) 的能级填充，众所周知，这定义了费米能量，通常用ε F表示。

图 3：绝对零度温度下的费米-狄拉克分布

综上所述，半导体中导带中的电子构成理想费米气体，其粒子数可变，由N e ( T ) 给出。N e (0) = 0的 情况必然意味着µ (0) = 0，这是该系统的费米能级。这个结论似乎是一个正式的解决方案，因为在T = 0 时系统“消失”，因为价带中的电子与其各自的邻居共价结合。实际上，ε F = 0 具有以下含义：电子气体永远不会退化，因为它始终是T > T F = 0，其中T F = εF /k B 是费米温度。

重新定义孔洞统计

在半导体物理学中，空穴是“准粒子”，其电荷与电子相反。与电子一样，这些实体的有效质量为m ∗这通常不同于电子的有效质量。考虑到空穴与电子具有相同的自旋，预计能级分布会出现费米-狄拉克统计。现实情况并非如此，在继续之前，让我们先回顾一下产生间隙的机制。在虚拟实验中，一定数量的共价键断裂，随之而来的是相同数量的电子的释放，任何“空位”都可以被来自新断裂键的电子占据。后者又会留下一个空位，可以由另一个电子占据。这个过程的迭代得出以下结论：从共价键释放的电子的“运动”对应于空位在相反方向的“运动”。实验上，这些“空穴”的行为就像电荷粒子q = + e，因此空穴被称为准粒子。

为了使这一论点可操作化，有必要确定能级的统计分布函数：

方程 (2) 中报告的量是能级ε未被占据的概率。如果某个能级未被占据，则称其为“被空穴占据”： 因此， f h ( ε ) 是空穴分布函数，就像f e ( ε ) 是电子分布函数一样。

这种说法是不准确的，因为单个空穴的能量特征值与单个电子的能量特征值不一致。从物理上讲，这意味着电子和空穴永远不会具有相同的能量。只要进行适当的变量改变，方程 (2) 就会定义间隙分布函数。为此，让我们检查一下图 4 中的方案，其中共价键的断裂会释放出一个电子，从而获得能量ε 1 > 0，留下一个能量为ε ′的空穴。

因此，公式(2)可以重写如下：

空穴分布函数如下：

我们得出空穴追逐电子的统计结论。这并不是文字游戏，因为f h 的定义与f e互补。在 (4) 中，它是电子气的化学势，没有必要为空穴定义化学势，因为它们是从电子开始定义的。

图 4：导带和价带之间由带隙ε g隔开

我们报告了上一期关于各个能带中电子数和空穴数的结果。符号的含义很明显：

通过施加条件(本征半导体)N e ( T ) = N h ( T )，我们获得化学势：

请注意，这些关系即使在低温下仍然有效，而不仅仅是在经典极限下，因为如前所述，电子气体永远不会退化。

结论

从 (6) 式可知，µ (0) = − ε g / 2，即在带隙中间，正如我们在上一题中确定的那样。这样，带隙概念的引入破坏了µ (0) = ε F的定义，就像在金属中一样。反之亦然，如果我们想保留这个定义，我们会得出ε F < 0 的结果，因此费米温度为T F < 0。这个矛盾的结果可能是空穴理论不自洽的标志，此外，负费米温度会引发一系列与负绝对温度问题相关的问题(甚至T (F) 与半导体温度无关，但它是所研究电子气的特征量。